最后更新: 2025-06-01 05:03 查看: 199 次反馈同步训练

复习6:多元积分应用与三大公式

## 多元积分应用
### 求曲顶柱体的体积

如果 $\Omega$ 的底面在坐标平面上, 则 $\Omega$ 的体积为   
$$
V=\iiint_{\Omega} 1 \mathrm{~d} v,
$$
或 $V=\iint_D|z(x, y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 
其中 $D$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上的投影.

### 空间曲面的面积
设曲面 $S$ 由方程 $z=f(x, y)$ 给出, $D_{x y}$ 为曲面 $S$ 在 $x O y$ 面上的投影区域, 函数 $f(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$, 则曲面面积
$$
A=\iint_{D_y} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

### 质心
设平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为
$$
\bar{x}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \bar{y}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma} .
$$
设空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体的质心坐 标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为
$$
\bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v} .
$$

### 转动惯量
设薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续. 该薄片对于 $x$ 轴、 $y$ 轴 的转动惯量为 $I_x, I_y$, 则
$$
I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma .
$$
        
体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体对 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的转动惯量为 $I_x, I_y, I_z$, 则
$$
I_x=\iiint_{\Omega}\left(y^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_y=\iiint_{\Omega}\left(x^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_z=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v .
$$

### 空间物体对质点的引力
设物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z) ， \Omega$ 外有一质点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 其质量为 $m_0$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 则物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}=\left\{F_x, F_y, F_z\right\}$, 其中
$$
\begin{aligned}
& F_x=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(x-x_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\
& F_y=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(y-y_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\
& F_z=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(z-z_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v .
\end{aligned}
$$
$G$ 为引力常数.

## 格林公式
点击[在线学习格林公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430)
 (1) 格林公式 (第二类曲线积分和二重积分的关系)    
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成, 函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续 偏导数，则有   
$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $L$ 为 $D$ 的取正向的边界曲线.   
平面曲线积分与路径无关的四个等价条件（格林公式的应用）:   
设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数, 则   
$$
 \begin{aligned}
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { 与路径无关 } & \Leftrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}, \forall(x, y) \in D \\
& \Leftrightarrow \oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0, L \text { 为 } D \text { 内任一简单分段光滑封闭曲线 } \\
& \Leftrightarrow \text { 存在函数 } u(x, y),(x, y) \in D, \text { 使 } \\
& \mathrm{d} u(x, y)=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y, \text { 此时 } u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

## 高斯公式
点击[在线学习高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)
高斯公式 (第二类曲面积分和三重积分的关系)    
设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的, 函数 $

免费注册看余下 50%

本站提供海里试题，欢迎使用，最低 8.2 元/月，非VIP每天12篇文章

赞助本站

上一篇：复习5:二重与三重积分

下一篇：复习7:微分方程

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)