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复习7:多元积分的应用
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更新:
2024-03-31 20:55
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复习7:多元积分的应用
### 求曲顶柱体的体积 如果 $\Omega$ 的底面在坐标平面上, 则 $\Omega$ 的体积为 $$ V=\iiint_{\Omega} 1 \mathrm{~d} v, $$ 或 $V=\iint_D|z(x, y)| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 是 $\Omega$ 在 $x O y$ 面上的投影. ### 空间曲面的面积 设曲面 $S$ 由方程 $z=f(x, y)$ 给出, $D_{x y}$ 为曲面 $S$ 在 $x O y$ 面上的投影区域, 函数 $f(x, y)$ 在 $D_{x y}$ 上具有连续偏导数 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$, 则曲面面积 $$ A=\iint_{D_y} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ ### 质心 设平面薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续, 薄片的质心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为 $$ \bar{x}=\frac{\iint_D x \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}, \bar{y}=\frac{\iint_D y \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma}{\iint_D \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma} . $$ 设空间立体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体的质心坐 标 $(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})$ 为 $$ \bar{x}=\frac{\iiint_{\Omega} x \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{y}=\frac{\iiint_{\Omega} y \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}, \bar{z}=\frac{\iiint_{\Omega} z \rho(x, y, z) \mathrm{d} v}{\iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \mathrm{d} v} . $$ ### 转动惯量 设薄片 $D$ 的面密度为 $\rho(x, y)$, 假定 $\rho(x, y)$ 在 $D$ 上连续. 该薄片对于 $x$ 轴、 $y$ 轴 的转动惯量为 $I_x, I_y$, 则 $$ I_x=\iint_D y^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma, I_y=\iint_D x^2 \rho(x, y) \mathrm{d} \sigma . $$ 体 $\Omega$ 的体密度为 $\rho(x, y, z)$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 该立体对 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴的转动惯量为 $I_x, I_y, I_z$, 则 $$ I_x=\iiint_{\Omega}\left(y^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_y=\iiint_{\Omega}\left(x^2+z^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v, I_z=\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2\right) \rho(x, y, z) \mathrm{d} v . $$ ### 空间物体对质点的引力 设物体占有空间区域 $\Omega$, 在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z) , \Omega$ 外有一质点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$, 其质量为 $m_0$, 假定 $\rho(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上连续, 则物体对质点的引力为 $\boldsymbol{F}=\left\{F_x, F_y, F_z\right\}$, 其中 $$ \begin{aligned} & F_x=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(x-x_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\ & F_y=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(y-y_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v, \\ & F_z=\iiint_{\Omega} \frac{G m_0 \rho(x, y, z)\left(z-z_0\right)}{\left[\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2\right]^{3 / 2}} \mathrm{~d} v . \end{aligned} $$ $G$ 为引力常数.
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