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复习9:微分方程

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## 微分方程
### 可分离变量方程（数一二三）
$$
f_1(x) g_1(y) \mathrm{d} x+f_2(x) g_2(y) \mathrm{d} y=0
$$
分离变量两边同除 $g_1(y) f_2(x) \neq 0$, 得 $\frac{f_1(x)}{f_2(x)} \mathrm{d} x+\frac{g_2(y)}{g_1(y)} \mathrm{d} y=0$, 然后两边积分即可.

### 齐次方程  （数一二三）
$$
y^{\prime}=f\left(\frac{y}{x}\right)
$$
令 $u=\frac{y}{x}$, 则 $y=u x, y^{\prime}=u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}$, 于是原方程可化为
$$
u+x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=f(u) \Rightarrow \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}=\frac{\mathrm{d} x}{x} \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} u}{f(u)-u}=\ln |x|+C .
$$
求出积分后, 再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$, 便得所给齐次方程的通解.

### 一阶线性方程 （数一二三）
$$
y^{\prime}+p(x) y=q(x)
$$
求解公式: $y=\left[\int q(x) \mathrm{e}^{\int p(x) \mathrm{d} x} \mathrm{~d} x+C\right] \mathrm{e}^{-\int p(x) \mathrm{d} x}$.

## 二阶常系数微分方程
### 齐次（数一二三）
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0 $ 其中 $p$, $q$  均为常数 
特征方程： $\lambda^2+p \lambda+q=0$,
（1）当 $\lambda_1, \lambda_2$ 为互异实根时, 微分方程通解为 $y(x)=C_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+C_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}$;
（2）当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时，通解为 $y(x)=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^{\lambda_1 x}$;
（3） 当 $\lambda=\alpha \pm i \beta$ (复根) 时, 通解为 $y(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}\left(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x\right)$.

>注意：上面既要求会求微分方程的解，也要求给出解反推微分方程，详见[宋浩视频教程](https://www.bilibili.com/video/BV1Eb411u7Fw?p=77)
 
### 非齐次（数一二三）
$y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x)$, 其中 $p, q$ 均为常数通解的求解步骤   
(1) 求对应的齐次方程的通解 $Y(x)$;   
(2) 用待定系数法求出非齐次方程的特解 $y^*(x)$;   
(3) 写出非齐次方程的通解为 $y^*(x)+Y(x)$.

#### 二阶常系数非齐次线性方程的非齐次项$f(x)$与特解$ y^*$的关系 
 $$
 \begin{aligned}
\begin{array}{|c|c|}
\hline y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=f(x) & \text { 特解 } y^*(x) \text { 的形式 } \\
\hline \begin{array}{c}
\quad f(x)=P_n(x) \mathrm{e}^{a x} \\
\text { 其中 } P_n(x) \text { 为 } x \text { 的 } n \text { 次多项式 }
\end{array} & \begin{array}{l}
a \text { 不是特征根, } y^*(x)=R_n(x) \mathrm{e}^{a x}, \\
a \text { 是特征方程的单根, } y^*(x)=x R_n(x) \mathrm{e}^{a x} \\
a \text { 是特征方程的重根, } y^*(x)=x^2 R_n(x) \mathrm{e}^{a x} \\
\left(R_n(x) \text { 为 } n\right. \text { 次多项式的一般形式) }
\end{array} \\
\hline \begin{array}{l}
f(x)=P_n(x) \mathrm{e}^{a x} \sin \beta x \\
\text { 或 } f(x)=P_n(x) \mathrm{e}^{a x} \cos \beta x \\
\text { 其中 } P_n(x) \text { 为 } n \text { 次多项式的一 } \\
\text { 般形式 }
\end{array} & \begin{array}{c}
y^*(x)=x^k \mathrm{e}^{\alpha x}\left[Q_n(x) \cos \beta x+W_n(x) \sin \beta x\right] \\
\alpha \pm i \beta \text { 不是特征根, } k=0 \\
\alpha \pm i \beta \text { 是特征根, } k=1 \\
\left(Q_n(x), W_n(x) \text { 为 } n\right. \text { 次多项式的一般形式 ) }
\end{array} \\
\hline
\end{array}
\end{aligned}
$$

## n阶微分方程
### 高于二阶的常系数线性齐次微分方程   
$n$ 阶常系数线性齐次微分方程的一般形式是: $y^{(n)}+p_1 y^{(n-1)}+p_2 y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1} y^{\prime}+p_n y=0$, 其中 $p_i(i=1,2, \cdots, n)$ 为常数. 相应的特征方程为 $\lambda^n+p_1 \lambda^{n-1}+p_2 \lambda^{n-2}+\cdots+p_{n-1} \lambda+p_n=0$ ，   
(1) 若特征方程有 $n$ 个不同的实根 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 则方程通解 $y=C_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 x}+C_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 x}+\cdots+C_n \mathrm{e}^{\lambda_n x}$.   
(2) 若 $\lambda_0$ 为特征方程的 $k$ 重实根 $(k \leq n)$ 则方程通解中含有 $\left(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1}\right) \mathrm{e}^{\lambda_0 x}$.   
(3) 若 $\alpha \pm i \beta$ 为特征方程的 $k$ 重共轭复根 $(2 k \leq n)$ 则方程通解中含有   
$$
\mathrm{e}^{\alpha x}\left[\left(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1}\right) \cos \beta x+\left(D_1+D_2 x+\cdots+D_k x^{k-1}\right) \sin \beta x\right] .   
$$

## 特殊微分方程
### 伯努利方程 （数一）
$y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{\prime \prime}$, 其中 $ n \neq 0,1$
令 $z=y^{1-n}$, 则方程化为
$$
\frac{1}{1-n} \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}+p(x) z=q(x) \Rightarrow \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}+(1-n) p(x) z=(1-n) q(x),
$$
变形后已是一阶线性方程, 可直接带入公式.

### 全微分方程（数一）
$M(x, y) \mathrm{d} x+N(x, y) \mathrm{d} y=0$ 为全微分方程 $\Leftrightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$.
通解为 $u(x, y)=\int_{x_0}^x M\left(x, y_0\right) \mathrm{d} x+\int_{y_0}^y N(x, y) \mathrm{d} y=C$.

###  欧拉 (Euler) 方程 （数一）        
形如 $x^2 y^{\prime \prime}+a x y^{\prime}+b y=f(x)$ 的微分方程称为二阶欧拉方程, 其中 $a, b$ 是常数.
求解方法: 当 $x>0$ 时, 作变量代换 $x=\mathrm{e}^{\prime}$, 则
$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t} \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}=\frac{1}{x} \cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}, \\
& \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}-\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right),
\end{aligned}
$$
原欧拉方程变为 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} t^2}+(a-1) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}+b y=f\left(\mathrm{e}^t\right)$. 这是一个以 $t$ 为自变量, $y$ 为末知函
数的二阶线性常系数微分方程. 当 $x<0$ 时, 通过变量代换 $x=-\mathrm{e}^t$, 可类似求解.

### 可降阶微分方程（数一，数二）   
(1) 方程 $y^{(n)}(x)=f(x)$, 直接求 $n$ 次积分得解.   
(2) 方程 $y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 的特点是不显含末知函数 $y$   
令 $u=y^{\prime}(x)$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}=f\left(x, y^{\prime}\right)$ 变为一阶微分方程 $u^{\prime}(x)=f(x, u)$.   
(3) 方程 $y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 的特点是不显含自变量 $x$   
令 $u=y^{\prime}$, 则 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} x}=\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} y} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=u u^{\prime}$, 则微分方程 $y^{\prime \prime}=f\left(y, y^{\prime}\right)$ 变为 $u u^{\prime}=f(y, u)$,   
这是一个以 $y$ 为自变量, $u(y)$ 为末知函数的一阶微分方程.

### 一阶常系数差分方程（数三）
（1）一阶常系数非齐次线性差分方程
   $y_{t+1}+a y_t=f(t) $, 其中 $ f(t) \neq 0, a 为非零常数.$
  当 $f(t) \equiv 0$ 时, 方程变为 $y_{t+1}+a y_t=0$, 称为一阶常系数齐次线性差分方程.

（2）非齐次差分方程的解的性质
 ① 若 $y^*$ 是非齐次差分方程的一个特解， $y_C(t)$ 是相应齐次差分方程的通解，则非齐次差分方程的通解为 $y_t=y_C(t)+y_t^*$.
 ② 若 $\overline{y_t}$ 与 $\tilde{y}_t$ 分别是差分方程 $y_{t+1}+a y_t=f_1(t)$ 和 $y_{t+1}+a y_t=f_2(t)$ 的解, 则 $\overline{y_t}+\tilde{y}_t$ 是差分方程 $y_{t+1}+a y_t=f_1(t)+f_2(t)$ 的解.

（3）非齐次差分方程的求解步骤
 ①求齐次差分方程的通解为 $y_C(t)=C \cdot(-a)^t$, 其中 $C$ 为任意常数.
 ②非齐次差分方程的特解 $y_t^*$ 形式的设定如下表
  ![图片](/uploads/2024-10/4ec96b.jpg)
  ![图片](/uploads/2024-10/df7d1f.jpg)
  
  ③依据已知条件, 确定特解 $y_t^*$ 中的参数, 则非齐次通解为 $y_t=y_C(t)+y_t^*$.

## 单元学习与测验
本单元小测 https://kmath.cn/math/papername.aspx?paperid=1060
本单元考研真题 https://kmath.cn/dx/Exam_By_Point.aspx

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