最后更新: 2025-06-01 05:04 查看: 214 次反馈同步训练

复习8:无穷级数

## 数项级数
数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 的性质         
(1) 设 $\boldsymbol{c}$ 为非零常数, 则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} c u_n$ 有相同的敛散性.
(2) 设有两个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$.
若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n=s, \sum_{n=1}^{\infty} v_n=\sigma$, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)=s \pm \sigma$.    
若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 发散.

若 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n, \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 均发散, 则 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n \pm v_n\right)$ 敛散性不定.    
(3) 添加、去掉或改变有限项不影响级数的敛散性.    
(4) 设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛, 则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和.        
【注】
①一个级数加括号所得新级数发散, 则原级数发散.    
② 一个级数加括号后收敛，原级数的敛散性不定.        
(5)  级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛的必要条件: $\lim _{n \rightarrow \infty} u_n=0$.

## 泰勒级数以及常见麦克劳林展开式
  
 定义：设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某一邻域内具有任意阶导数, 级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_0\right)}{2 !}\left(x-x_0\right)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n !}\left(x-x_0\right)^n+\cdots
$$
称为 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的泰勒级数.
当 $x_0=0$ 时, 级数化为
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^n+\cdots
$$
称为麦克劳林级数. <

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