最后更新: 2024-03-30 18:31 查看: 289 次反馈刷题

复习3:积分的性质

## 积分表
基本上是整个积分的基础，必须牢记，积分表请参见 
[积分表](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1274)

## 变限积分求导
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\varphi(x), \psi(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 则
$$
\left(\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \mathrm{d} t\right)_x^{\prime}=f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x)-f[\psi(x)] \cdot \psi^{\prime}(x) .
$$

#### 典型例题
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}$ 。
【解】令函数 $f(x)=\int_x^{2 x} e^{t^2} d t$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，运用洛必达法则 (L'Hôpital's rule)则有
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x^{\prime}}=\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)
$$

这是一个典型的变限积分函数的求导，根据变限积分函数求导公式可得
$$
f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_x^{2 x} e^{t^2} d t=e^{(2 x)^2}(2 x)^{\prime}-e^{x^2}(x)^{\prime}=2 e^{4 x^2}-e^{x^2}
$$

则有 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^{2 x} e^{t^2} d t}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} 2 e^{4 x^2}-e^{x^2}=1$ 。

### 扩展: 变限积分复合函数导数
【情形一】 $F(x)=\int_a^x g(x) f(t) d t$
对于【情形一】，由于积分变量为 $t$ ，可将函数 $g(x)$ 提出到积分前面，则有 $F(x)=g(x) \cdot \int_a^x f(t) d t$ ，即原有的式子可变为 $g(x)$ 与 $\int_a^x f(t) d t$ 两项之积。

根据求导基本法则中的乘法法则可知，函数 $F(x)=f(x) \cdot g(x)$ 的导数为 $F(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)$ ，则有
$$
F^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \cdot \int_a^x f(t) d t+g(x) \cdot\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=g^{\prime}(x) \int_a^x f(t) d t+g(x) f(x) 。
$$

【例】已知函数 $F(x)=\int_a^x x t d t$ ，求函数 $F(x)$ 的导数。
【解】
$$
F^{\prime}(x)=(x)^{\prime} \int_a^x t d t+x\left(\int_a^x t d t\right)^{\prime}=\int_a^x t d t+x \cdot x=\left[\frac{1}{2} t^2\right]_a^x+x^2=\frac{1}{2}\left(3 x^2-a^2\right)
$$

【情形二】 $F(x)=\int_a^x f(t, x) d t$
对于【情形二】， $t$ 和 $x$ 无法分离，需要采用换元法将 $x$ 分离出来。
【例】求函数 $F(x)=\int_a^x t f\left(x^2-t^2\right) d t$ 的导数。
【解】令 $u=x^2-t^2$ ，则 $d u=-2 t d t \Rightarrow d t=-\frac{d u}{2 t}$ ，带入原式可得
$F(x)=\int_{x^2-a^2}^{x^2-x^2} t f(u) \frac{d u}{-2 t}=-\frac{1}{2} \int_{x^2-a^2}^0 f(u) d u$ ，即 $F(x)=\frac{1}{2} \int_0^{x^2-a^2} f(u) d u$
则 $F^{\prime}(x)=\frac{1}{2} f\left(x^2-a^2\right)\left(x^2-a^2\right)^{\prime}=x f\left(x^2-a^2\right)$ 。

## 定积分常用结论
(1) 设 $f(x)$ 在 $[-l, l]$ 上连续, 则

$$
\int_{-l}^l f(x) \mathrm{d} x= \begin{cases}0, & \text { 当 } f(x) \text { 为奇函数, } \\ 2 \int_0^l f(x) \mathrm{d} x, & \text { 当 } f(x) \text { 为偶函数. }\end{cases}
$$

(2) 设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数， $a$ 为任意实数, 则
$$
\int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^T f(x) \mathrm{d} x=\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) \mathrm{d} x .
$$

(3) $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^n x \mathrm{~d} x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^n x \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{l}
\frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}, \text { 当 } n \text { 为大于 } 1 \text { 的偶数, } \\
\frac{n-1}{n} \frac{n-3}{n-2} \cdots \frac{2}{3} \cdot 1, \quad \text { 当 } n \text { 为大于 } 1 \text { 的奇数. }
\end{array}\right.$$

## 常见反常积分的敛散性

$$
\begin{aligned}
& \int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p} \mathrm{~d} x\left\{\begin{array}{l}
\text { 收敛, } \quad p>1, \\
\text { 发散, } \quad p \leqslant 1
\end{array} \quad(a>0) .\right. \\
& \int_a^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^p x} \mathrm{~d} x\left\{\begin{array}{ll}
\text { 收敛, } & p>1, \\
\text { 发散, } & p \leqslant 1
\end{array}(a>1) .\right. \\
& \int_a^b \frac{1}{(x-a)^p} \mathrm{~d} x \begin{cases}\text { 收敛, } & p<1, \\
\text { 发散, } & p \geqslant 1 .\end{cases}
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：复习2:渐近线与曲率

下一篇：复习04:曲线、曲面与旋转体

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)