最后更新: 2024-10-17 17:32 查看: 260 次反馈刷题

复习08:格林公式高斯公式与通量散度

## 格林公式
点击[在线学习格林公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430)
 (1) 格林公式 (第二类曲线积分和二重积分的关系)    
设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成, 函数 $P(x, y)$ 和 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续 偏导数，则有   
$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $L$ 为 $D$ 的取正向的边界曲线.   
平面曲线积分与路径无关的四个等价条件（格林公式的应用）:   
设函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在单连通区域 $D$ 内具有一阶连续偏导数, 则   
$$
 \begin{aligned}
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y \text { 与路径无关 } & \Leftrightarrow \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}, \forall(x, y) \in D \\
& \Leftrightarrow \oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=0, L \text { 为 } D \text { 内任一简单分段光滑封闭曲线 } \\
& \Leftrightarrow \text { 存在函数 } u(x, y),(x, y) \in D, \text { 使 } \\
& \mathrm{d} u(x, y)=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y, \text { 此时 } u(x, y)=\int_{\left(x_0, y_0\right)}^{(x, y)} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

## 高斯公式
点击[在线学习高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433)
高斯公式 (第二类曲面积分和三重积分的关系)    
设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成的, 函数 $P(x, y, z), Q(x, y, z)$ ， $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数, 则
$$
\iint_{\Sigma} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} v,
$$
其中 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧, $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 是 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的法向 量的方向余弦.

## 斯托克斯公式
斯托克斯公式 (空间闭曲面的曲面积分与其边界曲线的曲线积分的关系)     
设 $\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线, $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面, $\Gamma$ 的 正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则, $P, Q, R$ 在包念曲面 $\Sigma$ 在内的一个空间区域内具有一阶连 续偏导数，则有
$$
\begin{aligned}
& \oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \mathrm{d} S . \\
&
\end{aligned}
$$   
其中 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $\Sigma$ 的单位法向量.

## 通量散度与旋度
点击[在线学习通量散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)
 (1) 通量   
设 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}, P, Q, R$ 有一阶连续偏导数, $\Sigma$ 为场内一有向曲面, $\boldsymbol{n}$ 为 $\Sigma$ 上点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量, 则 $\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{n} \mathrm{d} S$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 通过曲 面 $\Sigma$ 向着指定侧的通量（流量）.
(2) 散度   
设 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}$, 则称 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 在 点 $(x, y, z)$ 处的散度, 记 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$.
 (3) 旋度   
设 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k}$, 则旋度为
$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \boldsymbol{k}=\left|\begin{array}{ccc}
\boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
$$

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