最后更新: 2024-10-03 09:25 查看: 116 次反馈刷题

附录：复数公式

数
$$
\begin{array}{lll}
z=x+\mathrm{i} y & \vec{z}=x-\mathrm{i} y & \operatorname{Re}(z)=x, \operatorname{Im}(z)=y \\
z+\bar{z}=2 \operatorname{Re}(z)=2 x & z-\bar{z}=2 \mathrm{i} \operatorname{Im}(z)=2 \mathrm{i} y & |z|=\sqrt{z \cdot \bar{z}}=\sqrt{x^2+y^2} \\
|z|^2=z \cdot \bar{z}=x^2+y^2 & z^2=x^2-y^2+2 \mathrm{i} x y & \frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z \cdot \bar{z}}=\frac{x-\mathrm{i} y}{x^2+y^2}(z \neq 0)
\end{array}
$$

### 三角形不等式: 
如果 $z$ 和 $w$ 是复数, 则
$$
|z \pm w| \leqslant|z|+|w| \text { 和 } \quad|| z|-| w|| \leqslant|z \pm w|
$$

## 欧拉恒等式及相关恒等式
如果 $x$ 是任意实数, 则
$$
\begin{array}{lll}
\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i} \sin x & \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}=\cos x-\mathrm{i} \sin x & \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}=\overline{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right)} \quad\left|\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}\right|=1 \\
\cos x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2} & \sin x=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}-\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}}{2 \mathrm{i}} & (\cos n x+\mathrm{i} \sin n x)^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}=\cos n x+\mathrm{i} \sin n
\end{array}
$$

复数的极坐标表示
$$
\begin{aligned}
& z=x+\mathrm{i} y=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=r(\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta) \\
& r=|z|=\sqrt{x^2+y^2} \\
& x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
\end{aligned}
$$

泰勒级数展开: 设 $z$ 是实数或复数, 则
$$
\begin{aligned}
& \left.\mathrm{e}^z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n !} \quad \text { (任意 } z\right.) \\
& \left.\cos z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \text { （任意 } z\right. ) \\
& \left.\sin z=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \quad \text { (任意 } z\right. ) \\
&
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n \quad(|z|<1) \\
& \cosh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n}}{(2 n) !} \quad \text { (任意 } z \text { ) } \\
& \left.\sinh z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{2 n+1}}{(2 n+1)} \text { (任意 } z\right. ) \\
&
\end{aligned}
$$

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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