最后更新: 2025-05-31 18:52 查看: 679 次反馈同步训练

极坐标的引入

## 引入
直角坐标系是我们经常使用的坐标系统，但是在某些情况下，直角坐标系表示物体的方位并不方便。比如一艘轮船，如果我们说：轮船在我们东南45度，离我们10公里，就比说轮船在$(x,y)$的坐标点是$(5\sqrt{2},5\sqrt{2})$ 要方便很多。因此，在数学里引入了极坐标系统。

## 定义
在平面内取一个定点$O$, 叫做极点，引射线$OA$, 叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正向（通常取逆时针方向）．对于平面上任一点$P$, 但$P$不是极点，用$r$表示$\overline{OP}$的长度，$\theta$表示从$OA$转到$OP$的角度．这时$r$叫做$P$点的极径，$\theta$叫做$P$点的极角．有序实数对$(r,\theta)$就叫做$P$点的极坐标，并记作$P(r,\theta)$. 这样建立的坐标系叫做极坐标系，如下图。
 ![图片](/uploads/2024-04/ec9e3e.jpg)
 
在极坐标系中，$r=0$,不论$\theta$是什么角，$(0,\theta)$都表示极点，除去极点，显然，不同的点对应不同的极坐标；反过来任取一对实数
$(r,\theta)$, 其中$0<r<\infty$, $0\le \theta<2\pi$, 我们能够且只能够在平面上找到一点$P$, 使它的坐标恰好是$(r,\theta)$. 由此可
见，平面上除了极点外的所有点和实数对集合：
$\{(r,\theta)|0<r<\infty,\quad 0\le\theta<2\pi\}$ 可建立一一对应关系．

有时为了研究问题的需要，我们往往取消上述对$r,\theta$的限制，规定$r$和$\theta$可取任何实数值．如果已知任意有序实数对$(r,\theta)$, 那么，我们可按下面的方法，在极坐标系中作出它的对应点．

以极轴$OA$为始边，作有向角$\angle AOM=\theta$, 如果$r>0$, 
在射线$OM$上作$\overline{OP}=r$, 如果$r<0$, 在射线$OM$的反
向延长线上作$\overline{OP}=|r|$. 这样，对任一对有序实数$(r,\theta)$，我们总可以在平面上确定一点$P$; 反过来，对平
面上任一点$P$, 都可对应无限多有序实数对组成的极坐标，
如果已知$P(r,\theta)$, 那么$(r,\theta+2k\pi)$, 当$k$为任意整数
时，都可表示$P$点的极坐标．

#### 例题
在极坐标系中, 作出下列各点
$$
\begin{gathered}
B\left(4, \frac{\pi}{6}\right), \quad C(2,0), \quad D\left(4, \frac{5}{6} \pi\right), \quad E\left(4, \frac{3}{2} \pi\right) \\
F\left(-4, \frac{\pi}{6}\right), \quad G\left(3,-\frac{\pi}{3}\right), \quad H\left(1, \frac{\pi}{2}\right)
\end{gathered}
$$

解：如下图所示
 ![图片](/uploads/2024-04/773a6d.jpg)
 
 ## 极坐标和直角坐标的关系
  ![图片](/uploads/2024-04/abecd7.jpg)
  在平面上建立一直角坐标系 $O X Y$ 和一极坐标系, 使极点和坐标原点 $O$ 重合, 极轴 $O A$ 与 $X$ 轴的正半轴重合. 设平面上任一点 $P$ 在 $O X Y$ 中的坐标为 $(x, y)$, 在极坐标系中的坐标为 $(r, \theta)$. 若 $P$ 点的极坐标为已知, 且 $r>0$, 则由三角学可知, $P$ 点的直角坐标可由变换公式
$$
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
$$

求得. 若 $r=0$, 公式 (7.1) 显然成立, 若 $r<0$, 则因 $(r, \theta)$ 和 $(-r, \theta+\pi)$ 表示同一点, 故可用 $(-r, \theta+\pi)$ 代替 $(r, \theta)$ 来求 $(x, y)$, 于是
$$
\begin{aligned}
& x=-r \cos (\theta+\pi)=-r(-\cos \theta)=r \cos \theta \\
& y=-r \sin (\theta+\pi)=(-r)(-\sin \theta)=r \sin \theta
\end{aligned}
$$

因此, 当 $r<0$ 时, 点的直角坐标仍可由公式 (7.1) 求得.反过来, 如果 $P$ 点的直角坐标为已知, 我们可由公式
$$
r^2=x^2+y^2, \quad \tan \theta=\frac{y}{x} \quad(x \neq 0)
$$

求得该点的极坐标, 由上一小节可知, 点 $P$ 的极坐标可对应无穷多对数值, 其中任一对数值都可作为点 $P$ 的极坐标. 在一般情况下, 我们只求 $r \geq 0,0 \leq 0<2 \pi$的一对数值就可以了.

例 7.2 把点 $P$ 的极坐标 $\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 化为直角坐标.
解: 由于
$$
\begin{aligned}
& x=3 \cdot \cos \frac{\pi}{3}=3 \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
& y=3 \cdot \sin \frac{\pi}{3}=3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}
\end{aligned}
$$

因此: 点 $P$ 的直角坐标是 $\left(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)$
例 7.3 把点 $M(-1,-1)$ 化为极坐标.

解:
$$
\begin{aligned}
r & =\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2} \\
\tan \theta & =\frac{-1}{-1}=1
\end{aligned}
$$

由于点 $M$ 在第三象限. 因此, 取 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$
$\therefore \quad$ 点 $M$ 的极坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{5}{4} \pi\right)$

## 点的轨迹的极坐标方程
我们已知, 可用一对有序实数 $(r, \theta)$ 来确定平面上一点的位置, 因此, 平面上点的轨迹有时可用含有 $r, \theta$ 两个变量的方程来表示, 这个方程叫做点的轨迹的极坐标方程或简称极方程

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