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高中数学
附录：极坐标与参数方程
极坐标
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2023-10-06 08:39
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极坐标
## 极坐标 在数学中，极坐标系（英语：polar coordinate system）是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。 在航海里，使用极坐标远比使用直角坐标方便，比如轮船在我方东南方30度方位，距离我方10海里，会比说轮船在$(x,y)$ 坐标方便。 在下图里，在极点为$O$、极轴为$L$的极坐标系里，点$（3, 60°）$的径向座标为$3$、角座标为$60°$，而点$（4, 210°）$的径向座标为$4$、角座标为$210°$。  ## 圆的极坐标表示 在极坐标系中，圆心在 $\left(r_0, \varphi\right)$ 半径为 $a$ 的圆的一般方程为 $$ r^2-2 r r_0 \cos (\theta-\varphi)+r_0^2=a^2 $$ 特定情况：比如方程 $$ r(\theta)=a $$ 表示一个以极点为中心半径为 $a$ 的圆。 **推导** 设圆的半径为 $r$ ，圆心的极坐标为 $\left(p_0, \alpha\right)$ ，并变换为直角坐标: $\left(p_0 \cos \alpha, p_0 \sin \alpha\right)$ 。则圆上的点的直角 坐标系方程为: $$ \left(x-p_0 \cos \alpha\right)^2+\left(y-p_0 \sin \alpha\right)^2=r^2 $$ 设圆上的点的极坐标为 $(p, \beta)$ ，则 $$ x=p \cos \beta, \quad y=p \sin \beta $$ 因此， $$ p^2-2 p p_0(\sin \beta \sin \al
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