最后更新: 2025-10-13 14:30 查看: 1037 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆的极坐标方程

## 圆的极坐标方程
用极坐标来描述圆的方程是最为合适的。

### 极点在圆心的圆的方程

`例` 试求以 $C(a, 0)$ 为圆心, 以 $a$ 为半径的圆的极坐标方程
 ![图片](/uploads/2025-10/9032cb.jpg) 
解：**方法一** 从几何意义上考虑，因为对圆上任一点 $P(r, \theta)$, 当且仅当
$$
\boxed{
r=a  ...(7.4)
}
$$

时, $P$ 点才在已知圆上, 所以 (7.4) 式就是所求圆的极方程.

**方法二** 考虑该圆上任意一点 $P(x, y)$ ，直角坐标系的圆的方程是 $x^2+y^2=a^2$, 参考 [极坐标引入](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1328) 一章的公式（7.1）式可知：

$$
r=\sqrt{x^2+y^2}=a
$$

同样可得圆的极坐标方程是 $r=a$

### 极点在圆的端点的方程

很多时候，极坐标系的极点使用圆的一个端点，参考下图 , 圆心在极轴上, 圆经过极点 $O$. 设圆和极轴的另一个交点是 $B$.

![图片](/uploads/2025-10/cc9863.jpg){width=300px}
 
  得知 $P(r, \theta)$ 在已知圆上的充要条件是 $\angle O P B= \frac{\pi}{2}$, 即
  
$|\overrightarrow{O P}|   =|\overrightarrow{O B}| \cos \theta $

即圆心在x轴

$$
 \boxed{
r   =2 a \cos \theta ...(7.5)
}
$$

因此 (7.5) 式就是所求圆的极方程.
如果某动点的轨迹在直角坐标系中的方程为已知, 那么, 利用变换公式
$$
x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta
$$

**圆心在y轴**

![图片](/uploads/2025-10/a85b88.jpg){width=300px}

圆心在 $y$  轴时，注意角度为 $\frac{\pi}{2} -\theta$, 因此
$$
\boxed{
r=2a sin \theta
}
$$

下表列出了上面讨论的常见的三种情况：

![图片](/uploads/2025-10/8b3780.jpg)
 
 
## 例题
### 极坐标系下圆的方程例题

`例`  求圆心在 $\left(\rho_0, \theta_0\right)$ ，半径为 $r$ 的圆的方程．

解 在圆周上任取一点 $P$（如图），
 ![图片](/uploads/2025-10/4975de.jpg){width=300px}
 
设其极坐标为 $(\rho, \theta)$ ，

由余弦定理知，

$$
C P^2=O P^2+O C^2-2 O P \cdot O C \cos \angle C O P,
$$

故其极坐标方程为

$$
\boxed{
r^2=\rho_0^2+\rho^2-2 \rho \rho_0 \cos \left(\theta-\theta_0\right) ...\text{极坐标下圆的极坐标方程}
}
$$

`例` 若圆心在 $(3,0)$ ，半径 $r=2$ ，求圆的极坐标方程．
解 设 $P(\rho, \theta)$ 为圆上任意一点，

则 $|C P|^2=|O P|^2+|O C|^2-2|O P| \cdot|O C| \cdot \cos \angle C O P$ ，

$$
\therefore 2^2=\rho^2+9-6 \rho \cos \theta,
$$

即 $\rho^2=6 \rho \cos \theta-5$

`例`  在极坐标系中，已知圆 $C$ 的圆心为 $C\left(3, \frac{\pi}{6}\right)$ ，半径为 $r=3$ ．求圆 $C$ 的极坐标方程．
解 设 $M(\rho, \theta)$ 为圆 $C$ 上任一点，
易知极点 $O$ 在圆 $C$ 上，设 $O M$ 的中点为 $N$ ，
$\therefore \triangle O C M$ 为等腰三角形，
则 $|O N|=|O C| \cos \left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)$ ，

$$
\therefore|O M|=2

其他版本
【高中数学】空间直角坐标系

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