最后更新: 2025-02-06 08:17 查看: 260 次反馈刷题

椭圆极坐标方程

## 椭圆极坐标方程
椭圆的极坐标方程为：
①极坐标原点在左焦点 $\rho=\frac{e p}{1-e \cos \theta}$
①极坐标原点在右焦点  $\rho=\frac{e p}{1+e \cos \theta}$

> 注意：和普通椭圆直角坐标系的坐标不同，极坐标方程基本上不再椭圆的对称中心点当做极坐标的原点。

下面给出简单的证明：
让我们使用椭圆的定义来推导它在极坐标中的方程。首先，让我们假设 $F_1$ 是在极坐标原点，$F_2$是另外一个焦点，参考下图

![图片](/uploads/2025-02/d538a4.jpg){width=500px}
 
 建立向量坐标，$\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{r-2c i}$， 这里$i$仅表示他是一个向量分量。
 
根据椭圆定义，这样就有
 $$
\| \boldsymbol{r} \|+\| \boldsymbol{r -2 i} \|= 2a
$$
转换为模形式为：

$$
(r-2 a)^2=\| r -2 i \|^2
$$

因为
$$
\boldsymbol{r} =\langle r \cos (\theta), r \sin (\theta) \rangle 
$$

带入上式得：
$$
\begin{aligned}
&(r-2 a)^2   =(r \cos \theta-2 c)^2+(r \sin \theta)^2 \\
&(r-2 a)^2   =r^2 \cos ^2(\theta)-2 r c \cos (\theta)+4  c^2+r^2 \sin ^2(\theta) \\
& r^2-4 a r+4 a^2   =r^2-4 r c \cos (\theta)+4 c^2
\end{aligned}
$$

进一步化简
$$
\begin{aligned}
-4 a r+4 a^2 & =-4 r c \cos (\theta)+4 c^2 \\
-a r+r \cos (\theta) & =-a^2+c^2 \\
r(-a+\cos (\theta)) & =-a^2+c^2 \\
r & =\frac{-a^2+c^2}{-a+\cos (\theta)}
\end{aligned}
$$

注意到 $b^2=a^2-c^2$ 带入得

$ r=\dfrac{b^2}{a-c \cos (\theta)} $

最后我们得到
$$
r=\frac{b^2 / a}{1-c / a \cos (\theta)}
$$

通常我们令 $e=\dfrac{c}{a}$ 和 $p=\dfrac{b^2}{a}$ ，就得到

$$
\boxed
{
r=\frac{p}{1-e \cos (\theta)}
}
$$

这里的$e$ 被称作椭圆的离心率。

因为 $b^2=a^2-c^2$ 得到
$$
p=a\left(\frac{b^2}{a^2}\right)=a\left(\frac{a^2-c^2}{a^2}\right)=a\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)
$$

所以
 $$
 \boxed{
 p=a\left(1-e^2\right)
 }
 $$
 
 这样就得到椭圆的极坐标方程。
 
 
 `例` 已知椭圆极坐标方程为 $r=\frac{3}{1-0.5 \cos (\theta)}$ ,请找出他的中心，长半轴，短半轴，并把他化为直角坐标系方程。
 
 解：这里 $p=3$ 和 $e=0.5$, 根据公式$p=a\left(1-e^2\right)$ 得到

$$
a=\frac{3}{1-(0.5)^2}=4
$$

同时，由 $b^2=a p$ 得到

$$
b^2=4 \cdot 3=12, \quad b=\sqrt{12}=2 \sqrt{3}
$$

最后 $F_1$ 是焦点，可以得到

$$
2 e  a=2 \cdot 0.5 \cdot 4=4
$$

这意味着 $F_2$ 坐标是 $(4,0)$ ，所以在$x$轴
 ![图片](/uploads/2025-02/d0e4f9.jpg)
 
 根据 $x$ 和$y$ 关系

$$
5 r-4 r \cos (\theta)=9
$$

即  $5 r=4 r \cos (\theta)+9$,  所以

$$
\begin{aligned}
25 r^2 & =(4 r \cos (\theta)+9)^2 \\
25\left(x^2+y^2\right) & =(4 x+9)^2
\end{aligned}
$$

因为  $(4 x+9)^2=16 x^2+72 x+81$, 得到

$$
25 x^2+25 y^2=16 x^2+72 x+81
$$

所以，最终椭圆方程为  $9 x^2-72 x+25 y^2=81$.

其他版本
【高中数学】椭圆的定义与标准方程【高中数学】圆的标准方程

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