最后更新: 2025-10-13 15:23 查看: 912 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

椭圆极坐标方程

## 椭圆极坐标方程
椭圆的极坐标方程为：
①极坐标原点在左焦点 $\rho=\dfrac{e p}{1-e \cos \theta}$
①极坐标原点在右焦点  $\rho=\dfrac{e p}{1+e \cos \theta}$

首先，需要明确一个关键点：**椭圆的标准极坐标方程通常是以其一个焦点为极点的**。如果以椭圆的中心为极点，方程形式会复杂很多，也不常用。因此，我们通常讨论的是以左焦点为极点的情况。

## 推导过程
 
### 证法1：使用椭圆标准方程推导

参考下图，以椭圆左焦点为极点，$ox$为极轴建立建立极坐标系，
 ![图片](/uploads/2025-10/61764a.jpg){width=300px}

我们从一个标准形式的椭圆开始：
**直角坐标方程：**
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a > b > 0)
$$
其中：
- $a$ 是半长轴
- $b$ 是半短轴
- $c$ 是半焦距，满足 $c^2 = a^2 - b^2$
- 焦点坐标为 $(\pm c, 0)$

现在，我们将坐标系的原点（极点 $O$）放在**左焦点 $F_1(-c, 0)$** 上。

在极坐标 $(r, \theta)$ 下，点 $P$ 的坐标定义为：
- $r$：点 $P$ 到极点 $F_1$ 的距离。
- $\theta$：极轴 ($Fx$) 与向量 $F_1P$ 的夹角（从极轴逆时针测量）。

根据椭圆的定义：**椭圆是到两个定点（焦点）的距离之和为常数（$2a$）的点的集合**。

所以，对于点 $P(r, \theta)$：
1. 到左焦点 $F_1$ 的距离是 $r$。
2. 到右焦点 $F_2$ 的距离是多少？

我们先找出点 $P$ 在原始直角坐标系（以椭圆中心为原点）中的坐标。
- 极点 $F_1$ 在原始坐标系中的坐标是 $(-c, 0)$。
- 点 $P$ 在以 $F_1$ 为原点的极坐标系中的坐标是 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$。
- 因此，点 $P$ 在原始坐标系（椭圆中心为原点）中的坐标为：
$$
x = -c + r\cos\theta
$$
$$
y = 0 + r\sin\theta
$$

现在，计算点 $P$ 到右焦点 $F_2(c, 0)$ 的距离 $d_2$：
$$
\begin{aligned}
d_2 &= \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} \\
&= \sqrt{(-c + r\cos\theta - c)^2 + (r\sin\theta)^2} \\
&= \sqrt{(-2c + r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} \\
&= \sqrt{4c^2 - 4cr\cos\theta + r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} \\
&= \sqrt{4c^2 - 4cr\cos\theta + r^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \\
&= \sqrt{r^2 - 4cr\cos\theta + 4c^2}
\end{aligned}
$$

根据椭圆定义：$r + d_2 = 2a$。
所以：
$$
d_2 = 2a - r
$$

将两边平方：
$$
(2a - r)^2 = r^2 - 4cr\cos\theta + 4c^2
$$
展开左边：
$$
4a^2 - 4ar + r^2 = r^2 - 4cr\cos\theta + 4c^2
$$
两边消去 $r^2$：
$$
4a^2

其他版本
【高中数学】椭圆的定义与标准方程【高中数学】圆的标准方程

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