最后更新: 2025-05-31 18:50 查看: 582 次反馈同步训练

椭圆极坐标方程

## 椭圆极坐标方程
椭圆的极坐标方程为：
①极坐标原点在左焦点 $\rho=\dfrac{e p}{1-e \cos \theta}$
①极坐标原点在右焦点  $\rho=\dfrac{e p}{1+e \cos \theta}$

> 注意：和普通椭圆直角坐标系的坐标不同，极坐标方程基本上不再椭圆的对称中心点当做极坐标的原点。

![图片](/uploads/2025-05/6d47c1.jpg){width=300px}
 极坐标系统

下面给出简单的证明：

### 证法1

利用椭圆的第二定义：**椭圆是到一个定点 $F$ 和到一条定直线 $l(F \notin l)$ 距离之比为定值 $e$ 的点的轨迹．** 据此定义可以建立圆锥曲线的统一极坐标方程．（这里的圆锥曲线同时包含了椭圆、双曲线和抛物线）

设定点 $F$ 到定直线 $l$ 的距离为 $p(p>0)$ ，过定点 $F$ 作定直线 $l$的垂线，垂足为 $K$ ．如图  ，以定点 $F$ 为极点 $O$ ，以 $F K$ 的反向延长线 $F x$ 为极轴，建立极坐标系．

设动点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$ ，则点 $M$ 到定直线 $l$ 的距离为
 
 ![图片](/uploads/2025-05/0161b5.jpg){width=400px}
  
  而 $|M F|=\rho$ ，由圆锥曲线的统一定义，有 $\frac{|M F|}{d}=e$ ，可得 $\rho=e d=e(p+\rho \cos \theta)$ ，整理可得

$$
\boxed{
\rho=\frac{e p}{1-e \cos \theta} .
}
$$

这就是圆锥曲线的统一极坐标方程

### 证法2
让我们使用椭圆的定义来推导它在极坐标中的方程。首先，让我们假设 $F_1$ 是在极坐标原点，$F_2$是另外一个焦点，参考下图

![图片](/uploads/2025-02/d538a4.jpg){width=500px}
 
 建立向量坐标，$\boldsymbol{r}$ 和 $\boldsymbol{r-2c i}$， 这里$i$仅表示他是一个向量分量。
 
根据椭圆定义，这样就有
 $$
\| \boldsymbol{r} \|+\| \boldsymbol{r -2 i} \|= 2a
$$
转换为模形式为：

$$
(r-2 a)^2=\| r -2 i \|^2
$$

因为
$$
\boldsymbol{r} =\langle r \cos (\theta), r \sin (\theta) \rangle 
$$

带入上式得：
$$
\begin{aligned}
&(r-2 a)^2   =(r \cos \theta-2 c)^2+(r \sin \theta)^2 \\
&(r-2 a)^2   =r^2 \cos ^2(\theta)-2 r c \cos (\theta)+4  c^2+r^2 \sin ^2(\theta) \\
& r^2-4 a r+4 a^2   =r^2-4 r c \cos (\theta)+4 c^2
\end{aligned}
$$

进一步化简
$$
\begin{aligned}
-4 a r+4 a^2 & =-4 r c \cos (\theta)+4 c^2 \\
-a r+r \cos (\theta) & =

其他版本
【高中数学】圆的标准方程【高中数学】椭圆的定义与标准方程

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