最后更新: 2024-05-11 08:18 查看: 198 次反馈刷题

参数方程

## 参数方程的概念
在直角坐标系$OXY$中，已知直线$\ell$过点$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}=(a_1,a_2)$ (图7.11). 如果$P(x,y)$是$\ell$上一动点，那么$\ell$的向量方程为
 $\vec{OP}=\vec{OP_0}+t\vec{a} $
换成坐标形式，即为

$$ 
    \begin{cases}
        x=x_0+a_1t\\
        y=y_0+a_2t
    \end{cases}
 $$
 ![图片](/uploads/2024-05/b623e9.jpg)
 
 
这就是说，直线$\ell$上的点可以和实数$t$建立一一对应关系．

一般来说，在取定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标$x,y$都是某个变数$t$的函数时，
$ x=f(t),\qquad y=\varphi(t) $
并且对于$t$的每一允许值，由方程(7.8)所确定的点$P(x,y)$都在这条曲线上．那么方程(7.8)就叫做这条**曲线的参数方程**．例如，方程(7.7)就是通过$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}$的直线的参数方程．

上面我们用参数来表示直角坐标系中点的坐标$x,y$, 同样我们也可用参数来表示在极坐标系中，点的极坐标$r,\theta$. 即
 $  r=f(t),\qquad \theta=\varphi(t) $
相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间的关系的曲
线方程，叫做曲线的**普通方程**．如我们学过的直角坐标方程
和极方程．

## 曲线的参数方程
#### 圆的参数方程
以原点为圆心，$R$为半径的圆，可以看作是一个质点作等速圆周运动的轨迹（图7.12）．设质点的运动的角速度为$\omega$, 从圆周与$X$轴的正半轴的交点$A$的位置开始按逆时针方向运动，经过时间$t$后，质点到达圆周上一点$P(x,y)$的位置．由于$\angle AOP=\omega t$，所以
 
$$
    \begin{cases}
    x=R\cos\omega t\\
    y=R\sin\omega t
    \end{cases}
$$
在方程(7.9)中，对应$t$的每一个值，圆周上就有一点$P(x,y)$与它对应．当$t$的值从0逐渐增加到$2\pi/\omega$时，$P$点就从$A$点开始按逆时针方向描出一个圆，所以(7.9)式就是表示以原点为中心，$R$为半径的圆的参数方程．如果直接
取$\angle AOP=\theta$作为参数，那么圆的参数方程是
 $$  \begin{cases}
    x=R\cos\theta\\
    y=R\sin\theta
    \end{cases} 
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/baa6c0.jpg)

#### 椭圆的参数方程
设$P(x,y)$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任一点，以$O$为圆心，分别以$a,b$为半径作两个辅助圆（上图7.13）．
过$P$点作直线$PQ$垂直于$X$轴，垂足为$Q$点，并交大辅助圆于$M$点，作$\overline{OM}$．
设$\angle MOX\varphi$，则$x=\overline{OQ}=a\cos\varphi$．
把上式代入椭圆方程，得$y=b\sin\varphi$，因此

$$
    \begin{cases}
        x=a\cos\varphi\\
        y=b\sin\varphi     
    \end{cases}
$$
就是椭圆的一个参数方程，其中$\varphi$叫做**离心角**．

#### 双曲线的参数方程
由三角公式
 $\sec^2\varphi-\tan^2\varphi=1 $
我们可得双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个参数方程为
$$
    \begin{cases}
        x=a\sec\varphi\\
       y=b\tan\varphi
    \end{cases}
$$

#### 抛物线$y^2=2px$的参数方程
如果令$y=2pt$，则$x=2pt^2$，所以
$$
    \begin{cases}
        x=2pt^2\\ y=2pt
    \end{cases}
$$
可作为抛物线$y^2=2px$的一个参数方程．

#### 旋轮线的参数方程
一个半径是$a$的车轮，沿一条直线轨道滚动，轮周上一
点$P$的轨迹叫做**旋轮线**（图7.14）．
 ![图片](/uploads/2024-05/fafa97.jpg)
 
 下面我们来建立旋轮线的参数方程．

取$P$点落在轨道上的个一位置作为原点．轨道所在直线作为$X$轴，当车轮从开始起转过了$\varphi$角，设这时$P$点的坐标是$(x,y)$, 车轮的圆心在$B$点，与轨道相切于$A$点，于是${AP}$的长等于$\overline{OA}$的长，我们引入参数$\varphi$（弧度）．（叫做滚动角）来表示$x$和$y$.

作$PD\bot OX$于$D$点，$PC\bot BA$于$C$点，则
 $$
\begin{split}
    x&=\overline{OD}=\overline{OA}-\overline{DA}={AP}-\overline{PC}=a\varphi-a\sin\varphi=a(\varphi-\sin\varphi)\\
    y&=\overline{DP}=\overline{AC}=\overline{AB}-\overline{BC}=a -a\cos\varphi=a(1-\cos\varphi)
\end{split}
 $$
因此，$P$点的轨迹的参数方程是
 $$
    \begin{cases}
        x=a(\varphi-\sin\varphi)\\
        y=a(1-\cos\varphi)
    \end{cases}
 $$
(7.13)式就是旋轮线的一个参数方程．

#### 圆的渐开线参数方程
把一条没有伸缩性的绳子绕在一个固定的圆盘的侧面上，拉开绳子的一端并拉直，使绳子和圆周始终相切，然后逐渐展开．绳子端点的轨迹叫做圆的渐开线（图7.15）．这个圆叫做渐开线的基圆．
 ![图片](/uploads/2024-05/db5487.jpg)
 
 下面我们来建立渐开线的参数方程．

设定圆的圆心为$O$, 半径为$a$, 开始时绳子的外端在$A$点，$O$为极点，以射线$OA$为极轴建立极坐标系，设$B$是渐开线上任一点，$(r,\theta)$是它的极坐标，其中$\theta$的单位是弧度．$\overline{OA}=a$, $\angle BOC=\alpha$, 则$r=\frac{a}{\cos\alpha}$，$\overline{BC}=a\tan\alpha$. 根据题设应有
 $\overline{BC}={AC}=a(\alpha+\theta) $ 解出$\theta$, 得
 $\theta=\frac{\overline{BC}}{a}-\alpha=\tan\alpha-\alpha $
因此，渐开线的极坐标的参数方程为
$$
    \begin{cases}
        r=\frac{a}{\cos\alpha}\\
    \theta=\tan\alpha-\alpha
    \end{cases}
$$

以$OA$为$X$轴的正半轴，建立直角坐标系．取$\angle AOC=\varphi$ 作为参数，由于$\varphi =\alpha+\theta$, 
应用公式(7.14)式的第二式可得
$$\varphi  =\tan\alpha$$
设$B$点在$OXY$中的坐标为$(x,y)$, 则
$$
\begin{split}
    x&=r\cos\theta=a(\cos\varphi+\varphi\sin\varphi)\\
    y&=r\sin\theta=a(\sin\varphi-\varphi\cos\varphi)
\end{split}
$$
这是渐开线在直角坐标系中的参数方程．

由以上几种常见曲线的参数方程的推导可知，通常建立
曲线的参数方程有两种方法：一种是像(一)那样，把曲线
看作动点的轨迹，选取时间参数$t$, 使得曲线上的点的动坐
标$x,y$分别用$t$的函数来表示，另一种是像(二)、(三)那
样，从已知曲线的直角坐标方程引入适当的参数，从而求得
曲线的参数方程．最后，我们指出，一条曲线的参数方程不
是唯一的．

以后我们将会看到，利用参数方程研究曲线的形状和性
质比普通方程更加方便．

### 例题
  画出参数方程
  $$
   \begin{cases}
        x=t^2 \\ 
        y=t^3
    \end{cases}
    $$
    所表示的曲线．
    
   解：列表
    ![图片](/uploads/2024-05/7bd018.jpg)
    用表中的数对$(x,y)$描点作图，就可
得到方程的曲线（图7.16）．这条曲线叫做半立方抛物线
 ![图片](/uploads/2024-05/775989.jpg)．

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