最后更新: 2024-05-11 08:18 查看: 246 次反馈同步训练

参数方程

## 参数方程的概念
在直角坐标系$OXY$中，已知直线$\ell$过点$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}=(a_1,a_2)$ (图7.11). 如果$P(x,y)$是$\ell$上一动点，那么$\ell$的向量方程为
 $\vec{OP}=\vec{OP_0}+t\vec{a} $
换成坐标形式，即为

$$ 
    \begin{cases}
        x=x_0+a_1t\\
        y=y_0+a_2t
    \end{cases}
 $$
 ![图片](/uploads/2024-05/b623e9.jpg)
 
 
这就是说，直线$\ell$上的点可以和实数$t$建立一一对应关系．

一般来说，在取定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标$x,y$都是某个变数$t$的函数时，
$ x=f(t),\qquad y=\varphi(t) $
并且对于$t$的每一允许值，由方程(7.8)所确定的点$P(x,y)$都在这条曲线上．那么方程(7.8)就叫做这条**曲线的参数方程**．例如，方程(7.7)就是通过$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}$的直线的参数方程．

上面我们用参数来表示直角坐标系中点的坐标$x,y$, 同样我们也可用参数来表示在极坐标系中，点的极坐标$r,\theta$. 即
 $  r=f(t),\qquad \theta=\varphi(t) $
相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间的关系的曲
线方程，叫做曲线的**普通方程**．如我们学过的直角坐标方程
和极方程．

## 曲线的参数方程
#### 圆的参数方程
以原点为圆心，$R$为半径的圆，可以看作是一个质点作等速圆周运动的轨迹（图7.12）．设质点的运动的角速度为$\omega$, 从圆周与$X$轴的正半轴的交点$A$的位置开始按逆时针方向运动，经过时间$t$后，质点到达圆周上一点$P(x,y)$的位置．由于$\angle AOP=\omega t$，所以
 
$$
    \begin{cases}
    x=R\cos\omega t\\
    y=R\sin\omega t
    \end{cases}
$$
在方程(7.9)中，对应$t$的每一个值，圆周上就有一点$P(x,y)$与它对应．当$t$的值从0逐渐增加到$2\pi/\omega$时，$P$点就从$A$点开始按逆时针方向描出一个圆，所以(7.9)式就是表示以原点为中心，$R$为半径的圆的参数方程．如果直接
取$\angle AOP=\theta$作为参数，那么圆的参数方程是
 $$  \begin{cases}
    x=R\cos\theta\\
    y=R\sin\theta
    \end{cases} 
$$
 ![图片](/uploads/2024-05/baa6c0.jpg)

#### 椭圆的参数方程
设$P(x,y)$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任一点，以$O$为圆心，分别以$a,b$为半径作两个辅助圆（上图7.13）．
过$P$点作直线$PQ$垂直于$X$轴，垂足为$Q$点，并交大辅助圆于$M$点，作$\overline{OM}$．
设$\angle MOX\varphi$，则$x=\overline{OQ}=a\cos\varphi$．
把上式代入椭圆方程，得$y=b\sin\varphi$，因此

$$
    \begin{cases}
        x=a\cos\varphi\\
        y=b\sin\varphi     
    \end{cases}
$$
就是椭圆的一个参数方程，其中$\varphi$叫做**离心角**．

#### 双曲线的参数方程
由三角公式
 $\sec^2\varphi-\tan^2\varphi=1 $
我们可得双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的一个参数方程为
$$
    \begin{cases}
        x=a\sec\varphi\\
       y=b\tan\varphi
    \end{cases}
$$

#### 抛物线$y^2=2px$的参数方程
如果令$y=2pt$，则$x=2pt^2$，所以
$$
    \begin{cases}
        x=2pt^2\\ y=2pt
    \end{cases}
$$
可作为抛物线$y^2=2px$的一个参数方程．

#### 旋轮线的参数方程
一个半径是$a$的车轮，沿一条直线轨道滚动，轮周上一
点$P$的轨迹叫做**旋轮线**（图7.14）．
 ![图片](/uploads/2024-05/fafa97.jpg)
 
 下面我们来建立旋轮线的参数方程．

取$P$点落在轨道上的个一位置作为原点．轨道所在直线作为$X$轴，当车轮从开始起转过了$\varphi$角，设这时$P$点的坐标是$(x,y)$, 车轮的圆心在$B$点，与轨道相切于$A$点，于是${AP}$的长等于$\overline{OA}$的长，我们引入参数$\varphi$（弧度）．（叫做滚动角）来表

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