最后更新: 2024-05-11 08:18 查看: 274 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

参数方程

## 参数方程的概念
在直角坐标系$OXY$中，已知直线$\ell$过点$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}=(a_1,a_2)$ (图7.11). 如果$P(x,y)$是$\ell$上一动点，那么$\ell$的向量方程为
 $\vec{OP}=\vec{OP_0}+t\vec{a} $
换成坐标形式，即为

$$ 
    \begin{cases}
        x=x_0+a_1t\\
        y=y_0+a_2t
    \end{cases}
 $$
 ![图片](/uploads/2024-05/b623e9.jpg)
 
 
这就是说，直线$\ell$上的点可以和实数$t$建立一一对应关系．

一般来说，在取定的坐标系中，如果曲线上任一点的坐标$x,y$都是某个变数$t$的函数时，
$ x=f(t),\qquad y=\varphi(t) $
并且对于$t$的每一允许值，由方程(7.8)所确定的点$P(x,y)$都在这条曲线上．那么方程(7.8)就叫做这条**曲线的参数方程**．例如，方程(7.7)就是通过$P_0(x_0,y_0)$且平行于已知向量$\vec{a}$的直线的参数方程．

上面我们用参数来表示直角坐标系中点的坐标$x,y$, 同样我们也可用参数来表示在极坐标系中，点的极坐标$r,\theta$. 即
 $  r=f(t),\qquad \theta=\varphi(t) $
相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间的关系的曲
线方程，叫做曲线的**普通方程**．如我们学过的直角坐标方程
和极方程．

## 曲线的参数方程
#### 圆的参数方程
以原点为圆心，$R$为半径的圆，可以看作是一个质点作等速圆周运动的轨迹（图7.12）．设质点的运动的角速度为$\omega$, 从圆周与$X$轴的正半轴的交点$A$的位置开始按逆时针方向运动，经过时间$t$后，质点到达圆周上一点$P(x,y)$的位置．由于$\angle AOP=\omega t$，所以
 
$$
    \begin{cases}
    x=R\cos\omega t\\
    y=R\sin\omega t
    \end{cases}
$$
在方程(7.9)中，对应$t$的每一个值，圆周上就有一点$P(x,y)$与它对应．当$t$的值从0逐渐增加到$2\pi/\omega$时，$P$点就从$A$点开始按逆时针方向描出一个圆，所以(7.9)式就是表示以原点为中心，$R$为半径的圆的参数方程．如果直接
取$\angle AOP=\theta$作为参数，那么圆的参数方程是
 $$  \begin{cases}
    x=R\cos\theta\\
    y=R\sin\theta
    \end{cases} 
$$
 ![图片](/uplo

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