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附录：极坐标与参数方程
参数方程和普通方程的互化
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2024-05-02 10:30
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参数方程和普通方程的互化
## 参数方程和普通方程的互化 设曲线的参数是 $$ \begin{cases} x=f(t)\\ y=\varphi(t) \end{cases} $$ 如果我们能从这个方程消去参数$t$, 那么我们就可求出当线 的普通方程． #### 例题 把参数方程 $$ \begin{cases} x=5\cos t+2\\ y=2\sin t-3 \end{cases} $$ 化为普通方程． 例 7.11 把参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=5 \cos t+2 \\ y=2 \sin t-3\end{array}\right.$ 化为普通方程. 解：由已知参数方程可得 $$ \frac{x-2}{5}=\cos t, \quad \frac{y+3}{2}=\sin t $$ 两式两边平方后相加, 得 $$ \frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y+3)^2}{4}=1 $$ 这就是已知曲线的普通方程. 例 7.12 把参数方程 $$ \left\{\begin{array}{l} x=a t^2 \\ y=a^2 t^3 \end{array}\right. $$ 化为普通方程. 解: (7.16) 式两边立方, (7.17) 式两边平方, 得 $$ \begin{aligned} & x^3=a^3 t^6 \\ & y^2=a^4 t^6 \end{aligned} $$ 由 $(7.18),(7.19)$ 两式可得 $$ y^2=a x^3 $$ 例 7.13 化直线的点斜式方程 $y-y_0=k\left(x-x_0\right)$ 为参数方程. 解: 直线的点斜式方程可变为 $$ k x-y+y_0-k x_0=0 $$ 因此直线具有方向向量为 $\vec{S}=(1, k)$, 所以, 直线方程的参数方程可写为 $$ \left\{\begin{array}{l} x=x_0+t \\ y=y_0+k t \end{array}\right. $$
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