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解析几何(圆锥曲线)
椭圆与双曲线的准线
最后更新:
2024-05-10 22:54
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椭圆与双曲线的准线
## 椭圆与双曲线的准线 由抛物线的定义可知,抛物线上任一点到一定点(焦点)的距离与它到一条定直线(准线)的距离之比等于常数1, 这一节,我们将证明对椭圆和双曲线也存在着这样的定直线,使椭圆和双曲线上任一点到焦点的距离与到定直线的距离之比等于一常数,并且这个常数正好等于它们的离心率$e$. 设$P(x_1,y_1)$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任一点,我们在前面曾得到公式 $$ \begin{align} \overline{PF_1}=a+\frac{c}{a}x_1\\ \overline{PF_2}=a-\frac{c}{a}x_1 \end{align} $$ 把(6.10)式右边变形可得 $\overline{PF_1}=\frac{c}{a}\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right)=e\left(x_1+\frac{a^2}{c}\right) $ 即:$\frac{\overline{PF_1}}{d_1}=e$,其中$d_1=x_1+\frac{a^2}{c}$.同样(6.11)式也可化为$\frac{\overline{PF_2}}{d_2}=e$,其中$d_2=-x_1+\frac{a^2}{c}$. 由计算点$P(x_1,y_1)$分别到直线$\ell_1:\; x+\frac{a^2}{c}=0$和 $\ell_2:\; x-\frac{a^2}{c}=0$的距离可知,$d_1,d_2$正好分别是$P(x_1,y_1)$到$\ell_1$与$\ell_2$的距离,这说明椭圆上任一点$P(x_1,y_1)$到焦点$F_1(-c,0)$($F_2(c,0)$)的距离与它到定直线 $\ell_1$ ($\ell_2$) 的距离的比是一个常数(等于离心率$e$),两条直线 $\ell_1:\; x=-\frac{a^2}{c},\qquad \ell_2:\; x=\frac{a^2}{c} $ 分别叫做椭圆的左准线和右准线(图6.14). ![图片](/uploads/2024-05/324421.jpg) 反过来,我们也可证明:与定点$F_1(-c,0)$ ($F_2(c,0)$) 的距离和定直线$\ell_1:\; x=-\frac{a^2}{c}$ ($\ell_2:\; x=\frac{a^2}{c}$) 的距离的比等于 常数$e\; (0<e<1)$的点必在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上. ![图片](/uploads/2024-05/7d7d75.jpg) 类比上述对椭圆的分析,同样也可证明,双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$也有两条准线(图6.15): 左准线$\ell_1:\; x=-\frac{a^2}{c}$;左准线$\ell_2:\; x=\frac{a^2}{c}$.并且具有如下特征性质. 双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$上任一点$P(x_1,y_1)$到焦点$F_1(-c,0)$ ($F_2(c,0)$) 的距离和到定直线$\ell_1$ ($\ell_2$) 的距离的比 是一个常数(等于离心率$e$);反之也对. 总结以上讨论和抛物线的定义,我们可给圆锥曲线一个统一的定义如下: 圆锥曲线是与一定点的距离和定直线的距离的比等于常 数$e$的点的轨迹,当$0<e<1$时是椭圆;$e>1$时是双曲线; $e=1$时是抛物线,定点叫做圆锥曲线的焦点,定直线叫做 圆锥曲线的准线.椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线,抛 物线只有一个焦点和一条准线. #### 例1 求椭圆$x+4y^2=100$的准线方程. 解 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{25}=1$,因此: $a=10,\qquad b=5,\qquad c=\sqrt{c^2-b^2}=5\sqrt{3} $ 所以已知椭圆的准线方程为 $\ell_1:\; x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{20\sqrt{3}}{3},\qquad \ell_2:\; x=\frac{20\sqrt{3}}{3} $ #### 例题2 求双曲线$x^2-y^2=1$的准线方程. 解:在已知双曲线方程中,$a=1$, $b=1$, 因此, $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{2} $ 所以已知双曲线的准线方程为 $\ell_1:\; x=-\frac{a^2}{c}=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \ell_2:\; x=\frac{\sqrt{2}}{2} $
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