最后更新: 2024-09-19 01:22 查看: 394 次反馈刷题

圆锥曲线的切线

## 圆锥曲线的切线
  
我们知道，与圆只有一个公共点的直线叫做圆的切线，但这个定义不能推广为一般曲线的切线的定义，如图6.16所示，直线$\ell_1$虽然与曲线只有一个公共点，但它不是曲线的“切线”，直线$\ell_2$虽与曲线有两个公共点，但它与曲线“相切”
 ![图片](/uploads/2024-05/7c6d23.jpg)
 
 下面我们来阐述一般曲线的切线的定义，并由这个定义推导圆锥曲线的切线方程．
设$P_1$为曲线上一点，过$P_1$引割线$P_1P_2$交曲线于另一点$P_2$, 当$P_2$沿曲线无限趋近于点$P_1$时，割线$P_1P_2$的极限位置$P_1T$叫做曲线在$P_1$点的切线（图6.17）

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设$P_1(x_1,y_1)$是椭圆上一定点，$P_2(x_2,y_2)$是椭圆上任一点，则椭圆的割线$P_1P_2$的方程为
$$
\begin{equation}
    y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)=\frac{y^2_2-y^2_1}{(x_2-x_1)(y_2+y_1)}(x-x_1)
\end{equation}
$$
由于点$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$都在已给的椭圆上，所以
 $y^2_1=b^2\left(1-\frac{x^2_1}{a^2}\right),\qquad y^2_2=b^2\left(1-\frac{x^2_2}{a^2}\right) $
两式相减得
 $y_2^2-y_1^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2_2-x^2_1) $
代入(6.12)化简即可得
 $y-y_1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_2+x_1}{y_2+y_1}(x-x_1) $
当$P_2$与$P_1$重合时，即$x_2=x_1$, $y_2=y_1$, 上式变为
 $y-y_1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1}{y_1}(x-x_1) $
或
 $\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2} $
即：

### 椭圆的切线方程
$$
    \boxed{\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1}
$$
(6.13)式就是椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
在点$P_1(x_1,y_1)$的切线方程．

同理可证，双曲线
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
在点$P_1(x_1,y_1)$处的切线方程为

### 双曲线的切线方程
$$
    \boxed{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1}
$$

抛物线$y^2=2px$在点$P_1(x_1,y_1)$处的切线方程为

### 抛物线的切线方程
$$
    \boxed{y_1y=p(x+x_1)}
$$

经过切点$P_1(x_1,y_1)$与切线垂直的直线叫做曲线在点$P_1$的**法线**．

根据法线的定义可知，法线的方向向量可取切线的法向量，因此可得椭圆、双曲线、抛物线的在$P_1(x_1,y_1)$点的法线方程分别为
$$
\begin{align}
    \frac{x-x_1}{b^2x_1}&=\frac{y-y_1}{a^2y_1}\\
    \frac{x-x_1}{b^2x_1}&=\frac{y-y_1}{-a^2y_1}\\
    \frac{x-x_1}{p}&=\frac{y-y_1}{-y_1}
\end{align}
$$

`例` 求椭圆：$2x^2+3y^2=35$在其上一点$P(2,3)$的切线方程
解：已知椭圆化为标准方程为
 $\frac{x^2}{\dfrac{35}{2}}+\frac{y^2}{\dfrac{35}{3}}=1 $
所以，已知椭圆在点$P(2,3)$的切线方程为
 $\frac{2x}{\dfrac{35}{2}}+\frac{3y}{\dfrac{35}{3}}=1 $
整理得：$4x+9y=35$

`例`设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
在其上任一点$P_0(x_0,y_0)$的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于$A$、$B$两点（图6.18），求证$\triangle OAB$的面积等于常数$ab$.
 ![图片](/uploads/2024-05/254af7.jpg)
 解：已知双曲线在$P_0(x_0,y_0)$的切线方程为
 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}=1 $
将它分别与渐近线方程$y=-\frac{b}{a}x$,
$y=\frac{b}{a}x$联立求解，就可分别得到
 $A\left(\frac{a^2b}{bx_0+ay_0},\frac{-ab^2}{bx_0+ay_0}\right),\qquad B\left(\frac{a^2b}{bx_0-ay_0},\frac{ab^2}{bx_0-ay_0}\right) $
所以
 $$
 \begin{split}
    S_{\triangle OAB}&=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}
        \frac{a^2b}{bx_0+ay_0}& \frac{-ab^2}{bx_0+ay_0}\\
        \frac{a^2b}{bx_0-ay_0}& \frac{ab^2}{bx_0-ay_0}
\end{vmatrix}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{a^3b^3}{b^2x^2_0-a^2y_0^2}+\frac{a^3b^3}{b^2x^2_0-a^2y_0^2}\right)\\
&=\frac{a^3b^3}{b^2x^2_0-a^2y_0^2}=\frac{a^3b^3}{a^2b^2}=ab
\end{split} 
$$

`例`设$F$是抛物线$y^2=2px$的焦点，$M$是抛物线上任一点，$MT$是抛物线在点$M$的切线，$MN$是法线并与$X$轴相交于$N$点，直线$ME$平行$X$轴（图6.19), 求证：$\angle FMN=\angle NME$.

![图片](/uploads/2024-05/9bf0a2.jpg)

设$M(x_1,y_1)$, 则由在$M$点的切线方程可得在
$M$点的法线方程为
 $y-y_1=-\frac{y_1}{p}(x-x_1) $
令$y=0$，
得$N(x_1+p,0)$, 
所以
 $\overline{FN}=x_1+p-\frac{p}{2}= x_1+\frac{p}{2} $
又由抛物线的定义可知，$\overline{MF}$等于$M$点到准线$x=-\frac{p}{2}$的距离，即
 $\overline{FM}=x_1+\frac{p}{2} $
所以
$\overline{FN}=\overline{FM},\quad \angle FMN=\angle FNM$, 
但$\angle FNM=\angle NME$，
所以
 $\angle FMN=\angle NME $
 
 
上面例子所证结论告诉我们，如果一族平行光线照射到抛物线上，经抛物线反射都通过焦点，抛物线这种光学性质有许多用途，例如太阳能灶的聚光镜，把太阳光线（看作平行）集中到焦点上，在焦点产生高温，探照灯把放在焦点处光源发出的光线经镜面反射后成为平行光线等．
 ![图片](/uploads/2024-05/f773d0.jpg)

我们同样可以证明，椭圆和双曲线具有如下性质．
椭圆的法线平分切点与两个焦点连线所成的角（图6.20）．
双曲线的法线平分切点与两个焦点连线所成角的邻补角（图6.21）．

我们把证明留给同学．作为练习．

上述性质说明，椭圆和双曲线具有类似于抛物线的光学性质，由椭圆一个焦点射出的光线照射到椭圆上，经过反射后都通过另一焦点（图6.22），在双曲线一个焦点发出的光线，照射到双曲线上，经过反射，会使光线散开，如同光线从另一个焦点发出来的光线一样（图6.23）．
 ![图片](/uploads/2024-05/a610d0.jpg)

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