最后更新: 2025-05-31 15:37 查看: 456 次反馈同步训练

圆锥曲线的切线

## 圆锥曲线的切线
   
设$P_1$为曲线上一点，过$P_1$引割线$P_1P_2$交曲线于另一点$P_2$, 当$P_2$沿曲线无限趋近于点$P_1$时，割线$P_1P_2$的极限位置$P_1T$叫做曲线在$P_1$点的切线（图6.17）

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，设$P_1(x_1,y_1)$是椭圆上一定点，$P_2(x_2,y_2)$是椭圆上任一点，则椭圆的割线$P_1P_2$的方程为
$$
\begin{equation}
    y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)=\frac{y^2_2-y^2_1}{(x_2-x_1)(y_2+y_1)}(x-x_1)
\end{equation}
$$
由于点$P_1(x_1,y_1)$, $P_2(x_2,y_2)$都在已给的椭圆上，所以
 $y^2_1=b^2\left(1-\frac{x^2_1}{a^2}\right),\qquad y^2_2=b^2\left(1-\frac{x^2_2}{a^2}\right) $
两式相减得
 $y_2^2-y_1^2=\frac{b^2}{a^2}(x^2_2-x^2_1) $
代入(6.12)化简即可得
 $y-y_1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_2+x_1}{y_2+y_1}(x-x_1) $
当$P_2$与$P_1$重合时，即$x_2=x_1$, $y_2=y_1$, 上式变为
 $y-y_1=\frac{b^2}{a^2}\cdot \frac{x_1}{y_1}(x-x_1) $
或
 $\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2} $
即：

### 椭圆的切线方程
$$
    \boxed{\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1}
$$
(6.13)式就是椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
在点$P_1(x_1,y_1)$的切线方程．

同理可证，双曲线
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
在点$P_1(x_1,y_1)$处的切线方程为

### 双曲线的切线方程
$$
    \boxed{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1}
$$

抛物线$y^2=2px$在点$P_1(x_1,y_1)$处的切线方程为

### 抛物线的切线方程
$$
    \boxed{y_1y=p(x+x_1)}
$$

经过切点$P_1(x_1,y_1)$与切线垂直的直线叫做曲线在点$P_1$的**法线**．

根据法线的定义可知，法线的方向向量可取切线的法向量，因此可得椭圆、双曲线、抛物线的在$P_1(x_1,y_1)$点的法线方程分别为
$$
\begin{align}
    \frac{x-x_1}{b^2x_1}&=\frac{y-y_1}{a^2y_1}\\
    \frac{x-x_1}{b^2x_1}&=\frac{y-y_1}{-a^2y_1}\\
    \frac{x-x_1}{p}&=\frac{y-y_1}{-y_1}
\end{align}
$$

`例` 求椭圆：$2x^2+3y^2=35$在其上一点$P(2,3)$的切线方程
解：已知椭圆化为标准方程为
 $\frac{x^2}{\dfrac{35}{2}}+\frac{y^2}{\dfrac{35}{3}}=1 $
所以，已知椭圆在点$P(2,3)$的切线方程为
 $\frac{2x}{\dfrac{35}{2}}+\frac{3y}{\dfrac{35}{3}}=1 $
整理得：$4x+9y=35$

`例`设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
在其上任一点$P_0(x_0,y_0)$的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于$A$、$B$两点（图6.18），求证$\triangle OAB$的面积等于常数$ab$.
 ![图片](/uploads/2024-05/254af7.jpg)
 解：已知双曲线在$P_0(x_0,y_0)$的切线方程为
 $\frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_

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