最后更新: 2024-09-19 01:23 ● 参与者查看: 98 次纠错分享参与项目词条搜索

圆锥曲线的直径

## 圆锥曲线的直径
通过椭圆（双曲线）中心的直线，叫做椭圆（双曲线）的直径，与抛物
线的轴平行的直线叫做抛物线的直径．如果一条直线与圆锥曲线相交于两点，那么交点间的线段叫做圆锥曲线的弦（图 6.24）．
 ![图片](/uploads/2024-05/30b666.jpg)
 
 ### 定理
 圆锥曲线的平行弦的中点在直径上．

我们以椭圆为例加以证明，关于双曲线和抛物线的情况留给同学作为练习．

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 求证它的一族平行弦的中点在它的一条直径上（图6.24(1)）．

证明：如果平行弦垂直于对称轴，那么，由椭圆的对称
性，定理显然成立．我们来证明一般情况．
设平行弦所在的平行线系方程为
$y=kx+c,\quad k\ne 0$．
代入已知椭圆方程整理得
 $(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 $
设这个二次方程的两个根为$x_1,x_2$, 则：
 $x_1+x_2=-\frac{2a^2kc}{b^2+a^2k^2} $
因此平行弦中点的横坐标
 $x=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2kc}{b^2+a^2k^2} $
代入直线系方程得中点的纵坐标
 $y=-\frac{b^2c}{b^2+a^2k^2} $
于是
 $\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2k} $
所以平行弦中点的坐标都在直线$y=-\frac{b^2}{a^2k}x$
上，这条直线通过椭圆中心，因此它是椭圆的直径．

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一族平行弦平行于直径$y=kx$，则直径$y=k'x,\quad \left(k'=-\frac{b^2}{a^2k}\right)$
叫做$y=kx$的**共轭直径**．

上述定理也就是说，与一条直径平行的弦的中点都在它
的共轭直径上．显然直径的共轭性是相互的（图6.25）．
 ![图片](/uploads/2024-05/5233c8.jpg)
 
####  例题1
$P_0(x_0,y_0)$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$与它的一条
直径$y=kx$的交点，求证椭圆在$P_0(x_0,y_0)$的切线平行于
这条直径的共轭直径（图6.26）．
证明：椭圆在$(x_0,y_0)$点的切线方程是$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$，它的斜率$k'=-\frac{x_0b^2}{a^2y_0}$，
    但$(x_0,y_0)$在已知直径上，所以
 $\frac{y_0}{x_0}=k,\qquad k'=-\frac{b^2}{a^2k} $
又已知直径$y=kx$的共轭直径是
$y=-\frac{b^2}{a^2k}x$，所以切线
与共轭直径平行．
 ![图片](/uploads/2024-05/49ab80.jpg)

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