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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
圆锥曲线的直径
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2024-09-19 01:23
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圆锥曲线的直径
## 圆锥曲线的直径 通过椭圆（双曲线）中心的直线，叫做椭圆（双曲线）的直径，与抛物 线的轴平行的直线叫做抛物线的直径．如果一条直线与圆锥曲线相交于两点，那么交点间的线段叫做圆锥曲线的弦（图 6.24）．  ### 定理 圆锥曲线的平行弦的中点在直径上． 我们以椭圆为例加以证明，关于双曲线和抛物线的情况留给同学作为练习． 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 求证它的一族平行弦的中点在它的一条直径上（图6.24(1)）． 证明：如果平行弦垂直于对称轴，那么，由椭圆的对称 性，定理显然成立．我们来证明一般情况． 设平行弦所在的平行线系方程为 $y=kx+c,\quad k\ne 0$． 代入已知椭圆方程整理得 $(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 $ 设这个二次方程的两个根为$x_1,x_2$, 则： $x_1+x_2=-\frac{2a^2kc}{b^2+a^2k^2} $ 因此平行弦中点的横坐标 $x=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2kc}{b^2+a^2k^2} $ 代入直线系方程得中点的纵坐标 $y=-\frac{b^2c}{b^2+a^2k^2} $ 于是 $\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2k} $ 所以平行弦中点的坐标都在直线$y=-\frac{b^2}{a^2k}x$ 上，这条直线通过椭圆中心，因此它是椭圆的直径． 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\f
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