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解析几何(圆锥曲线)
圆锥曲线的直径
最后更新:
2024-05-11 07:28
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圆锥曲线的直径
## 圆锥曲线的直径 通过椭圆(双曲线)中心的直线,叫做椭圆(双曲线)的直径,与抛物 线的轴平行的直线叫做抛物线的直径. 如果一条直线与圆锥曲线相交于两点,那么交点间的线段叫做圆锥曲线 的弦(图 6.24). ![图片](/uploads/2024-05/30b666.jpg) ### 定理 圆锥曲线的平行弦的中点在直径上. 我们以椭圆为例加以证明,关于双曲线和抛物线的情况 留给同学作为练习. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 求证它的一族平行弦的中点在它的一条直径上(图6.24(1)). 证明:如果平行弦垂直于对称轴,那么,由椭圆的对称 性,定理显然成立.我们来证明一般情况. 设平行弦所在的平行线系方程为 $y=kx+c,\quad k\ne 0$. 代入已知椭圆方程整理得 $(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kcx+a^2(c^2-b^2)=0 $ 设这个二次方程的两个根为$x_1,x_2$, 则: $x_1+x_2=-\frac{2a^2kc}{b^2+a^2k^2} $ 因此平行弦中点的横坐标 $x=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{a^2kc}{b^2+a^2k^2} $ 代入直线系方程得中点的纵坐标 $y=-\frac{b^2c}{b^2+a^2k^2} $ 于是 $\frac{y}{x}=-\frac{b^2}{a^2k} $ 所以平行弦中点的坐标都在直线$y=-\frac{b^2}{a^2k}x$ 上,这条直线通过椭圆中心,因此它是椭圆的直径. 已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的一族平行弦平行于直径$y=kx$,则直径$y=k'x,\quad \left(k'=-\frac{b^2}{a^2k}\right)$ 叫做$y=kx$的**共轭直径**. 上述定理也就是说,与一条直径平行的弦的中点都在它 的共轭直径上.显然直径的共轭性是相互的(图6.25). ![图片](/uploads/2024-05/5233c8.jpg) #### 例题1 $P_0(x_0,y_0)$是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$与它的一条 直径$y=kx$的交点,求证椭圆在$P_0(x_0,y_0)$的切线平行于 这条直径的共轭直径(图6.26). 证明:椭圆在$(x_0,y_0)$点的切线方程是$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$,它的斜率$k'=-\frac{x_0b^2}{a^2y_0}$, 但$(x_0,y_0)$在已知直径上,所以 $\frac{y_0}{x_0}=k,\qquad k'=-\frac{b^2}{a^2k} $ 又已知直径$y=kx$的共轭直径是 $y=-\frac{b^2}{a^2k}x$,所以切线 与共轭直径平行. ![图片](/uploads/2024-05/49ab80.jpg)
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