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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
漫谈：为什么引入离心率
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2025-05-31 15:23
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漫谈：为什么引入离心率
## 为什么引入离心率？ 早在2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家**阿波罗尼斯**采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。 ①用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆； ②把平面渐渐倾斜，得到椭圆； ③当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线； ④用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支。  通过平面切割圆锥体，可以得到圆、椭圆、双曲线和抛物线这四种图形，虽然他们形状不同，但是本质都是“**用一个平面切割圆锥**”得到 ，前面介绍了这四种图形的标准方程，我们自然有一个疑问：能否通过一个定义来“定义”这四种图形？为此引入离心率。 >在数学界，统一名词一直是许多科学家的梦想，特别是物理界，比如万有引力F，他的大小和两个物体的质量成正比，和距离的平方成反比，同样的，两个电荷力Q，他的大小也和两个电荷的电量成正比，和距离的平方成反比，那能否把万有引力和点电荷力统一为一种力呢？比如叫做“引力场力”，据说爱因斯坦一直想把三大引力统一为一个力，虽未成功，但仍值得学习，在学习完后圆锥曲线，我们就可以发现，使用离心率就可以统一定义圆锥曲线。 ## 圆锥曲线的第二定义 **椭圆第二定义** 平面内与一个定点 $F(c, 0)$ 的距离和它到一条定直线 $l: x=\frac{a^2}{c}$ 的距离之比是常数 $e=\frac{c}{a}(0<e<1)$ 的动点 $M$ 的轨迹叫做椭圆, 定点为椭圆的一个焦点, 定直线为椭圆的准线, 常数 $e$ 是椭圆的离心率。 **双曲线第二定义** 到定点 $F$ 的距离与到定直线 $l$ 的距离之比为常数 $e=\frac{c}{a}(c>a>0)$ 的点的轨迹是双曲线, 其中, 定点 $F$ 叫做双曲线的焦点, 定直线 $l$ 叫做双曲线的准线, 常数 $e$ 是双曲线的离心率。 **抛物线第二定义** 平面上到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距
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