最后更新: 2025-05-31 15:55 查看: 500 次反馈同步训练

高考研究：直线和圆锥曲线的位置关系

## 直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 $y$（或 $x$ ），得到关于 $x$（或 $y$ ）的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 $\Leftrightarrow \Delta \geq 0$ ；直线与圆锥曲线相切 $\Leftrightarrow \Delta=0$ ；直线与圆锥曲线相离 $\Leftrightarrow \Delta \leq 0$ ．
特别地，（1）与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
（2）与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．

## 弦长公式
 ![图片](/uploads/2025-05/052299.jpg)
 
 
 `例` 已知直线 $l: y=x-1$ 与抛物线 $y^2=4 x$ 交于 $A, B$ 两点，则线段 $A B$ 的长是
A． 2
B． 4
C． 8
D． 16
解析
联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x-1, \\ y^2=4 x,\end{array}\right.$ 消去 $y$ 并整理得 $x^2-6 x+1=0$ ，
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ ，
则 $x_1+x_2=6, ~ x_1 x_2=1$ ，
所以 $|A B|=\sqrt{1+k^2} \sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_{1 x_2}}=\sqrt{1+1} \times \sqrt{36-4}=8$ ．

`例` 抛物线 $C: y^2=4 x$ 的准线为 $l$ ，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $A$ 作抛物线的一条切线，切点为 $B$ ，则 $\triangle O A B$ 的面积为

A． 1
B． 2
C． 4
D． 8

解：参考下图
 ![图片](/uploads/2025-05/0a441b.jpg){width=300px}
 $\because$ 抛物线 $C: y^2=4 x$ 的准线为 $l$ ，
$\therefore$ 的方程为 $x=-1, ~ A(-1,0)$ ，
设过点 $A$ 作抛物线的一条切线为 $x=m y-1, ~ m>0$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y-1, \\ y^2=4 x,\end{array}\right.$ 得 $y^2-4 m y+4=0$ ，
$\therefore \Delta=(-4 m)^2-4 \times 4=0$ ，解得 $m=1$ ，
$\therefore y^2-4 y+4=0$ ，解得 $y=2$ ，即 $y_B=2$ ，
$\therefore \triangle O A B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$ ．

`例` 已知焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，椭圆左顶点 $A$ 到左焦点 $F_1$ 的距离为 1 ．
（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；
（2）设椭圆的右顶点为 $B$ ，过 $F_1$ 的直线 $/$ 与椭圆 $C$ 交于点 $M, N$ ，且 $S_{\triangle B M N}=$ $\frac{18 \sqrt{2}}{7}$ ，求直线 1 的方程．

解：（1）由 $\left\{\begin{array}{l}2 b=2 \sqrt{3}, \\ a-c=1, \\ a^2-c^2=b^2,\end{array} \quad\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}, \\ a=2, \\ c=1,\end{array}\right.$
所以椭圆 $C$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{4}

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【高中数学】抛物线的定义

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