最后更新: 2024-09-18 22:07 查看: 393 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

双曲线的性质

## 双曲线的性质

### 范围

由双曲线的标准方程可知, 双曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$, 都适合不等式

$$
\begin{aligned}
& \frac{y^2}{b^2} \geqslant 0, \quad \frac{x^2}{a^2} \geqslant 1, \\
& x^2 \geqslant a^2, \quad y^2 \geqslant 0,
\end{aligned}
$$

即
所以 $x \leqslant-a$ 或 $x \geqslant a, y \in \mathbf{R}$.
这说明，双曲线的两支分别位于直线 $x=-a$ 的左侧与直线 $x=a$ 的右侧，向左右两方无限延伸.

事实上，我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围. 双曲线上任意一点的坐标 $(x, y)$ 满足条件

$$
|y|=\frac{b \sqrt{x^2-a^2}}{a}<\frac{b \sqrt{x^2}}{a}=\frac{b}{a}|x|
$$

当 $x \geqslant a$ 时, $-\frac{b}{a} x<y<\frac{b}{a} x$; 当 $x \leqslant-a$ 时, $\frac{b}{a} x<y<-\frac{b}{a} x$.

总之, 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 处于两条相交直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 所围成的、包含 $x$ 轴在内的那两个区域中, 并且在直线 $x=-a, x=a$ 所围成的区域外侧, 如图 3.2-4.
 ![图片](/uploads/2024-09/bd0b0a.jpg)
 
 ### 对称性

在双曲线的标准方程中，将 $(x, y)$ 分别换成 $(-x,-y),(x,-y)$ 和 $(-x$ ， $y)$ ，方程都不变，可见双曲线关于原点、 $x$ 轴和 $y$ 轴都是对称的。因此，双曲线有两条对称轴, 即 $x$ 轴和 $y$ 轴; 有一个对称中心, 即原点, 双曲线的对称中心称为双曲线的中心。

###  顶点

在双曲线的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中, 令 $y=0$, 得 $x= \pm a$, 可见该双曲线与它的对称轴 $x$ 轴有两个交点 $\Lambda_1(-a, 0), \Lambda_2(a, 0)$, 都称为双曲线的顶点.

令 $x=0$, 得到 $y^2=-b^2$, 这个方程没有实数解, 可见双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 与它的另一条对称轴 $y$ 轴没有交点，但我们也将点 $B_1(0,-b)$ 与 $B_2(0, b)$ 画出来（如图 3. 2 - 5 ).

线段 $\Lambda_1 \Lambda_2, B_1 B_2$ 分别叫作双曲线的实轴和虚轴, 它们的长分别为 $2 a$ 和 $2 b, a$和 $b$ 分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.

###  渐近线
我们已经知道, 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 处于两条相交直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 所围成的、包含 $x$ 轴在内的两个区域中. 从图象上看, 双曲线的两支向两端无限延伸, 越来越接近于这两个区域的边界直线 $y= \pm \frac{b}{a} x$.

###  离心率

与椭圆类似, 双曲线的半焦距与实半轴长的比 $e=\frac{c}{a}$ 叫作双曲线的离心率. 因为 $c>a>0$, 所以双曲线的离心率 $e=\frac{c}{a}>1$.显然, $e$ 越大, $\frac{b}{a}$ 越大, 即渐近线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 的斜率的绝对值越大, 说明双曲线的开口越大.

`例` 已知双曲线的中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, 虚半轴长为 $2 \sqrt{2}$, 离心率为 3 , 求该双曲线的标准方程.

解 由于双曲线的焦点在 $x$ 轴上, 故可设它的标准方程为

$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)
$$

根据已知有
$$
\begin{aligned}
&\left\{\begin{array}{l}
b=2 \sqrt{2}, \\
\frac{c}{a}=3 \\
a^2+b^2=c^2
\end{array}\right.\\
&\text { 解之得 }\\
&a^2=1, \quad b^2=8
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\text { 故所求双曲线的标准方程为 }\\
&x^2-\frac{y^2}{8}=1
\end{aligned}
$$

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