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最后更新: 2024-09-18 22:07 参与者    查看: 205 次    纠错    分享    参与项目    词条搜索       

双曲线的性质

双曲线的性质

范围

由双曲线的标准方程可知, 双曲线上任意一点的坐标 (x,y), 都适合不等式

y2b20,x2a21,x2a2,y20,


所以 xaxa,yR.
这说明,双曲线的两支分别位于直线 x=a 的左侧与直线 x=a 的右侧,向左右两方无限延伸.

事实上,我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围. 双曲线上任意一点的坐标 (x,y) 满足条件

|y|=bx2a2a<bx2a=ba|x|

xa 时, bax<y<bax; 当 xa 时, bax<y<bax.

总之, 双曲线 x2a2y2b2=1 处于两条相交直线 y=±bax 所围成的、包含 x 轴在内的那两个区域中, 并且在直线 x=a,x=a 所围成的区域外侧, 如图 3.2-4.
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对称性

在双曲线的标准方程中,将 (x,y) 分别换成 (x,y),(x,y)(xy) ,方程都不变,可见双曲线关于原点、 x 轴和 y 轴都是对称的。因此,双曲线有两条对称轴, 即 x 轴和 y 轴; 有一个对称中心, 即原点, 双曲线的对称中心称为双曲线的中心。

顶点

在双曲线的标准方程 x2a2y2b2=1 中, 令 y=0, 得 x=±a, 可见该双曲线与它的对称轴 x 轴有两个交点 Λ1(a,0),Λ2(a,0), 都称为双曲线的顶点.

x=0, 得到 y2=b2, 这个方程没有实数解, 可见双曲线 x2a2y2b2=1 与它的另一条对称轴 y 轴没有交点,但我们也将点 B1(0,b)B2(0,b) 画出来(如图 3. 2 - 5 ).

线段 Λ1Λ2,B1B2 分别叫作双曲线的实轴和虚轴, 它们的长分别为 2a2b,ab 分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.

渐近线

我们已经知道, 双曲线 x2a2y2b2=1 处于两条相交直线 y=±bax 所围成的、包含 x 轴在内的两个区域中. 从图象上看, 双曲线的两支向两端无限延伸, 越来越接近于这两个区域的边界直线 y=±bax.

离心率

与椭圆类似, 双曲线的半焦距与实半轴长的比 e=ca 叫作双曲线的离心率. 因为 c>a>0, 所以双曲线的离心率 e=ca>1.显然, e 越大, ba 越大, 即渐近线 y=±bax 的斜率的绝对值越大, 说明双曲线的开口越大.

例1 已知双曲线的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 虚半轴长为 22, 离心率为 3 , 求该双曲线的标准方程.

解 由于双曲线的焦点在 x 轴上, 故可设它的标准方程为

x2a2y2b2=1(a>0,b>0)

根据已知有

{b=22,ca=3a2+b2=c2 解之得 a2=1,b2=8
 故所求双曲线的标准方程为 x2y28=1

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