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2024-09-18 22:07
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双曲线的性质
双曲线的性质
范围
由双曲线的标准方程可知, 双曲线上任意一点的坐标 , 都适合不等式
即
所以 或 .
这说明,双曲线的两支分别位于直线 的左侧与直线 的右侧,向左右两方无限延伸.
事实上,我们还可以更精确地描述双曲线分布的范围. 双曲线上任意一点的坐标 满足条件
当 时, ; 当 时, .
总之, 双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含 轴在内的那两个区域中, 并且在直线 所围成的区域外侧, 如图 3.2-4.
对称性
在双曲线的标准方程中,将 分别换成 和 , ,方程都不变,可见双曲线关于原点、 轴和 轴都是对称的。因此,双曲线有两条对称轴, 即 轴和 轴; 有一个对称中心, 即原点, 双曲线的对称中心称为双曲线的中心。
顶点
在双曲线的标准方程 中, 令 , 得 , 可见该双曲线与它的对称轴 轴有两个交点 , 都称为双曲线的顶点.
令 , 得到 , 这个方程没有实数解, 可见双曲线 与它的另一条对称轴 轴没有交点,但我们也将点 与 画出来(如图 3. 2 - 5 ).
线段 分别叫作双曲线的实轴和虚轴, 它们的长分别为 和 和 分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.
渐近线
我们已经知道, 双曲线 处于两条相交直线 所围成的、包含 轴在内的两个区域中. 从图象上看, 双曲线的两支向两端无限延伸, 越来越接近于这两个区域的边界直线 .
离心率
与椭圆类似, 双曲线的半焦距与实半轴长的比 叫作双曲线的离心率. 因为 , 所以双曲线的离心率 .显然, 越大, 越大, 即渐近线 的斜率的绝对值越大, 说明双曲线的开口越大.
例1
已知双曲线的中心在原点, 焦点在 轴上, 虚半轴长为 , 离心率为 3 , 求该双曲线的标准方程.
解 由于双曲线的焦点在 轴上, 故可设它的标准方程为
根据已知有
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