最后更新: 2025-05-31 16:02 查看: 554 次反馈同步训练

高考研究：动点与最值问题

`例`已知 $F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的右焦点，若直线 $x=\frac{a^2}{c}$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ ，在椭圆上存在点 $P$ 满足线段 $A P$ 的垂直平分线过点 $F$ ，则椭圆的离心率的取值范围是

解：由题意，椭圆上存在点 $P$ ，使得线段 $A P$ 的垂直平分线过点 $F$ ，即 $F$ 点到 $P$ 点与 $A$ 点的距离相等，

$$
\begin{aligned}
& \text { 又 }|F A|=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c},|P F| \in[a-c, a+c], \\
& \therefore \frac{b^2}{c} \in[a-c, a+c], \\
& \therefore a c-c^2 \leqslant b^2 \leqslant a c+c^2, \\
& \therefore\left\{\begin{array}{l}
a c-c^2 \leqslant a^2-c^2, \\
a c+c^2 \geqslant a^2-c^2,
\end{array}\right. \\
& \therefore\left\{\begin{array}{l}
e \leqslant 1, \\
2 e^2+e-1 \geqslant 0,
\end{array} \quad \text { 又 } \because e \in(0,1), \quad \therefore e \in\left[\frac{1}{2}, 1\right) .\right.
\end{aligned}
$$

`例` 设 $e_1, e_2$ 分别为具有公共焦点 $F_1$ 与 $F_2$ 的椭圆和双曲线的离心率，$P$ 为两曲线的一个公共点，且满足 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$ ，则 $e_1 e_2$ 的最小值为？

解：设椭圆的长半轴长为 $a_1$ ，双曲线的实半轴长为 $a_2$ ，不妨设 $\left|P F_1\right|>\left|P F_2\right|$ ，由椭圆和双曲线的定义可得

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ | P F _ { 1 } | + | P F _ { 2 } | = 2 a _ { 1 } , } \\
{ | P F _ { 1 } | - | P F _ { 2 } | = 2 a _ { 2 } , }
\end{array} \text { 得 } \left\{\begin{array}{l}
\left|P F_1\right|=a_1+a_2, \\
\left|P F_2\right|=a_1-a_2,
\end{array}\right.\right.
$$

设 $\left|F_1 F_2\right|=2 c$ ，
因为 $\angle F_1 P F_2=\frac{\pi}{3}$ ，
由余弦定理得 $\left|F_1 F_2\right|^2=\left|P F_1\right|^2+\left|P F_2\right|^2-2\left|P F_1\right|\left|P F_2\right| \cos \angle F_1 P F_2$ ，

即 $4 c^2=\left(a_1+a_2\right)^2+\left(a_1-a_2\right)^2-2\left(a_1+a_2\right)\left(a_1-a_2\right) \cos \frac{\pi}{3}$ ，整理得 $a_1^2+3 a_2^2=4 c^2$ ，

故 $\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2}=4$ ．
又 $4=\frac{1}{e_1^2}+\frac{3}{e_2^2} \geqslant 2 \sqrt{\frac{1}{e_1^2} \times \frac{3}{e_2^2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{e_1 e_2}$ ，
即 $2 \geqslant \frac{\sqrt{3}}{e_1 e_2}$ ，所以 $e_1 e_2 \geqslant \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

即 $e_1 e_2$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，当且仅当 $\frac{1}{e_1^2}=\frac{3}{e_2^2}$ ，即 $e_1=\frac{\sqrt{2}}{2}, e_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$ 时，等号成立．

`例` 已知 $F(\sqrt{3}, 0)$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点，点 $M\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $C$ 上．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $k_{O A}+k_{O B}=-\frac{1}{2}$（ $O$ 为坐标原点），求直线 1 的斜率的取值范围．

解：（1）由题意知，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $(-\sqrt{3}, 0)$ ，根据椭圆的定义，可得点 $M$ 到两焦点的距离之和为 $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{3})^2+\left(\frac{1}{2}-0\right)^2}$ $+\frac{1}{2}=4$ ，

即 $2 a=4$ ，所以 $a=2$ ，
又因为 $c=\sqrt{3}$ ，可得 $b=\sqrt{a^2-c^2}=1$ ，
所以椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ ．

当直线 $l$ 的斜率不存在或斜率为 0 时，结合椭圆的对称性可知，$k_{O A}+$ $k_{O B}=0$ ，不符合题意。
故设直线 $l$ 的方程为 $y=k x+m(k \neq 0), ~ A\left(x_1, ~ y_1\right), ~ B\left(x_2, ~ y_2\right)$ ，
联立方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^2}{4}+y^2=1,\end{array}\right.$
可得 $\left(4 k^2+1\right) x^2+8 k m x+4\left(m^2-1\right

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