最后更新: 2025-02-08 09:21 查看: 403 次反馈刷题

抛物线的定义

## 抛物线的引入
如图, 将一直尺固定在直线 $l$ 上, 取一个直角三角板, 以它的一条直角边靠紧直尺的一边 $l$. 在另一条直角边上取定点 $\Lambda$, 设三角板的直角顶点为 $C$. 再取一条长度正好等于 $AC$ 的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点 $A$ 处，另一端用大头针固定在点 $F$ 处. 用铅笔将细线绷紧, 使铅笔尖贴在三角板的边 $AC$ 之上.让三角板沿着直尺滑动, 则铅笔尖所在的点 $P$ 就画出所要作的轨迹的一段.
 ![图片](/uploads/2024-09/42505c.jpg)
 
 观察画出的轨迹的形状, 发现它与二次函数的图象一一这个轨迹就是抛物线。
 
 ## 抛物线的定义
 我们把平面内与一个定点 $F$ 和一条定直线 $l(F \notin l)$ 距离相等的点的轨迹叫作**抛物线**，点 $F$ 叫作抛物线的**焦点**，直线 $l$ 叫作抛物线的**准线**．

后面将证明，对于任意 $p>0$ ，焦点为 $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ ，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$的抛物线方程为

$$
\boxed{
y^2=2 p x
}
$$

这称为**抛物线的标准方程**．
 
 
 ## 抛物线的标准方程和形状
平面内与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点叫做抛物线的**焦点**，定直线叫做抛物线的**准线**．

下面，我们根据抛物线的定义来建立抛物线的方程．

设焦点为$F$, 准线为$\ell$ (图6.10)，过$F$点作$\ell$的垂线与$\ell$相交于$D$点，取射线$DF$的方向作为$X$轴的正方向，以$\overline{DF}$的垂直平分线为$Y$轴，设$F$到$\ell$的距离为$p$, 即$\overline{DF}=p$, 则 $F\left(\frac{p}{2},0\right),\qquad D\left(-\frac{p}{2},0\right) $
准线$\ell$的方程为
$x=-\frac{p}{2} $

设$P(x,y)$是抛物线上任一点，它到焦点$F$的距离等
于它到$\ell$的距离．即
 $\sqrt{\left(x-\frac{p}{2}\right)^2+y^2}=\left|x+\frac{p}{2}\right| $
将上式两边平方，并化简得

![图片](/uploads/2024-05/7a7ef7.jpg)
 
$$
    y^2=2px\qquad (p>0) ...(6.9)
$$
这就是**抛物线的标准方程**．它表示的抛物线的焦点$F$在$X$轴的正半轴上且坐标是$\left(\frac{p}{2},0\right)$, 准线方程是$x=-\frac{p}{2}$．

如果抛物线的焦点和准线分别取不同位置会得到不同的形状，概况如下：

![图片](/uploads/2025-02/90d34f.jpg)

## 用抛物线的方程来研究抛物线的形状．

下面，我们根据拋物线的标准方程

$$
y^2=2 p x(p>0) ...(8)
$$

来研究它的一些几何性质．

### 抛物线的对称性
首先，在抛物线方程(8)中，含有$y$的平方，故把$-y$代替$y$对方程没有影响，这表明曲线是以$x$轴为**对称轴的轴对称形**．我们把这条轴叫做**抛物线的轴**．轴和抛物线的交点叫做**抛物线的顶点**．

### 抛物线的范围
其次，由方程(8)可知$x\ge 0$, 当$x$增大时，$y$的绝对值也跟着增大，因此抛物线在$Y$轴的右方，向上、向下无限伸展

### 抛物线的极限
设$P(x,y)$是抛物线上任一点，直线$OP$的倾角为$\alpha$, 则
 $\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{y^2}{xy}=\frac{2px}{xy}=\frac{2p}{y} $
其中$p$是常数，当$y$无限增大时，$\frac{2p}{y}$无限接近于零，这说明，抛物线上动点$P(x,y)$无限远离原点时，$P(x,y)$点到$X$轴的距离无限增大，而$\vec{OP}$的方向与$X$轴正向之间的方向差却趋于零，**这是抛物线与双曲线的重要区别之一**．

### 抛物线的离心率
根据定义抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，而在抛物线里，这个比值是定值1，用 $e$表示离心率．可知抛物线的离心率 $e=1$ 。

### 抛物线的顶点
抛物线和它的对称轴的交点称为抛物线的顶点．在方程（8）中，当 $y=0$ 时，$x=0$ ，因此，抛物线（8）的顶点为坐标原点 $(0,0)$ ．

## 例题

`例`已知抛物线的焦点$F(2,0)$, 求它的标准方程
解：因为焦点$F(2,0)$在$X$轴上，
$\frac{p}{2}=2$, $p=4$, 
所以抛物线标准方程是
 $y^2=8x $
 
`例`已知抛物线的标准方程是$y^2=-4x$, 求它的焦点坐标和准线方程．
因为$p=-2$, 所以焦点的坐标是$(-1,0)$, 
准线方程是$x=1$.

其他版本
【高中数学】抛物线的第二定义

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：双曲线的性质

下一篇：抛物线的离心率

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)