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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
抛物线的离心率与准线
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2025-05-31 15:22
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抛物线的离心率与准线
## 抛物线的离心率 平面上到定点 $F$ 与到定直线 $l$ 距离之比为常数 $e(e=1)$ 的点的轨迹为抛物线。其中，定点 $F$ 为抛物线的焦点，定直线 $l$ 为抛物线的准线，常数 $e$ 为抛物线的离心率。 抛物线的离心率为1，即 $e＝1$ 如下图 {width=380px} ## 总结 ### 标准方程 抛物线的标准方程为 $$ \begin{array}{ll} y^2=2 p x & y^2=-2 p x \\ x^2=2 p y & x^2=-2 p y \end{array} $$ 上面表达式所表示的抛物线焦点在 $x$ 轴上；下面表达式所表示的抛物线焦点在 $y$ 轴上。下面以焦点在 $x$ 轴上的抛物线(1)为例进行介绍。即: $$ y^2=2 p x $$ ### 离心率 抛物线的离心率 $e$ 为 $$ e=1 $$ 抛物线的 $p$ 越大，抛物线开口越大。 ## 准线 抛物线有一条准线，方程为: $$ x=-\frac{p}{2} $$ 准线与焦点位于抛物线顶点的两侧，且到顶点的距离相等，均为 $\frac{p}{2}$ 。 `例` 已知抛物线 $x^2=2 p y(p>0)$ 上的一点 $M\left(x_0, 1\right)$ 到其焦点的距离为 2 ，则该抛物线的焦点到其准线的距离为？ 解：由题可知，抛物线准线为 $y=-\frac{p}{2}$ ，可得 $1+\frac{p}{2}=2$ ，解得 $p=2$ ，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为 $p=2$ ． `例` （
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