最后更新: 2024-09-19 01:26 查看: 536 次反馈同步训练

坐标轴平移与旋转

## 坐标轴平移
不改变坐标轴的方向和长度单位，只变换原点的位置，这种坐标系的变换叫做**坐标轴的平移**，简称移轴．
给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴得到新坐标系$O'X'Y'$, 下面我们来确定平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系（图6.27）．
 ![图片](/uploads/2024-05/838a54.jpg)
 
 设$O'$在坐标系$OXY$中的坐标为$(h,k)$, 则在坐标系$OXY$中
 $\vec{OO'}=(h,k),\qquad \vec{OP}=(x,y),\qquad \vec{O'P}=(x',y') $因为$\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}$，所以 $(x,y)=(h,k)+(x',y') $
 
即：

$ x=x'+h,\qquad y=y'+k$

或

$x'=x-h,\qquad y'=y-k$

公式(6.19), (6.20)叫做**平移公式**或移轴公式．

#### 例题1
  给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴，原点移到    $O'(3,2)$, 求$A(5,6)$的新坐标．
  解：把$A$、$O'$点的坐标代入平移公式(6.20), 得
     $x'=5-3=2,\qquad y'=6-2=4 $
    即点$A$在新坐标系$O'X'Y'$中的坐标为$(2,4)$.  
    
#### 例题2
平移坐标轴，化简圆的方程$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
解： 把已知圆的方程配方得 $ (x+1)^2+(y-3)^2=4 $ 设它上面任一点的新坐标为
$(x',y')$, 平移坐标轴使
 $x'=x+1,\qquad y'=y-3 $
即：$x=x'-1,\qquad y=y'+3$，代入(6.21)，得到新方程为(图6.28)
 ${x'}^2+{y'}^2=4 $
  ![图片](/uploads/2024-05/dcfc75.jpg)
  
  从例6.15可以看出，适当地变换坐标系，可以使曲线的方程简化．由于曲线的几何性质与我们选取的坐标系无关．所以，我们研究曲线时，总是想法选择能使曲线方程最为简单的坐标系，以便于我们研究曲线的性质．

## 坐标轴的旋转
不改变坐标轴的原点和长度单位，只是坐标轴绕原点转一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴．

给定一坐标系，坐标轴绕原点$O$转$\theta$角，得到一新坐标
系$OX'Y'$(图6.29). 下面我们来确定平面上任一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．

设$\vec{e}_{x},\vec{e}_{y}$和$\vec{e}_{x'},\vec{e}_{y'}$分别是两个坐标系中的基向 
量，则
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P} & =x \vec{e}_x+y \vec{e}_y=x^{\prime} \vec{e}_{x^{\prime}}+y^{\prime} \vec{e}_{y^{\prime}} \\
\vec{e}_{x^{\prime}} & =\cos \theta \vec{e}_x+\sin \theta \vec{e}_y \\
\vec{e}_{y^{\prime}} & =\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_y=-\sin \theta \vec{e}_x+\cos \theta \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

![图片](/up

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：圆锥曲线的切线

下一篇：一般的坐标变换公式

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)