最后更新: 2024-09-19 01:26 查看: 341 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

坐标轴平移与旋转

## 坐标轴平移
不改变坐标轴的方向和长度单位，只变换原点的位置，这种坐标系的变换叫做**坐标轴的平移**，简称移轴．
给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴得到新坐标系$O'X'Y'$, 下面我们来确定平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系（图6.27）．
 ![图片](/uploads/2024-05/838a54.jpg)
 
 设$O'$在坐标系$OXY$中的坐标为$(h,k)$, 则在坐标系$OXY$中
 $\vec{OO'}=(h,k),\qquad \vec{OP}=(x,y),\qquad \vec{O'P}=(x',y') $因为$\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}$，所以 $(x,y)=(h,k)+(x',y') $
 
即：

$ x=x'+h,\qquad y=y'+k$

或

$x'=x-h,\qquad y'=y-k$

公式(6.19), (6.20)叫做**平移公式**或移轴公式．

#### 例题1
  给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴，原点移到    $O'(3,2)$, 求$A(5,6)$的新坐标．
  解：把$A$、$O'$点的坐标代入平移公式(6.20), 得
     $x'=5-3=2,\qquad y'=6-2=4 $
    即点$A$在新坐标系$O'X'Y'$中的坐标为$(2,4)$.  
    
#### 例题2
平移坐标轴，化简圆的方程$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
解： 把已知圆的方程配方得 $ (x+1)^2+(y-3)^2=4 $ 设它上面任一点的新坐标为
$(x',y')$, 平移坐标轴使
 $x'=x+1,\qquad y'=y-3 $
即：$x=x'-1,\qquad y=y'+3$，代入(6.21)，得到新方程为(图6.28)
 ${x'}^2+{y'}^2=4 $
  ![图片](/uploads/2024-05/dcfc75.jpg)
  
  从例6.15可以看出，适当地变换坐标系，可以使曲线的方程简化．由于曲线的几何性质与我们选取的坐标系无关．所以，我们研究曲线时，总是想法选择能使曲线方程最为简单的坐标系，以便于我们研究曲线的性质．

## 坐标轴的旋转
不改变坐标轴的原点和长度单位，只是坐标轴绕原点转一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴．

给定一坐标系，坐标轴绕原点$O$转$\theta$角，得到一新坐标
系$OX'Y'$(图6.29). 下面我们来确定平面上任一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．

设$\vec{e}_{x},\vec{e}_{y}$和$\vec{e}_{x'},\vec{e}_{y'}$分别是两个坐标系中的基向 
量，则
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P} & =x \vec{e}_x+y \vec{e}_y=x^{\prime} \vec{e}_{x^{\prime}}+y^{\prime} \vec{e}_{y^{\prime}} \\
\vec{e}_{x^{\prime}} & =\cos \theta \vec{e}_x+\sin \theta \vec{e}_y \\
\vec{e}_{y^{\prime}} & =\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_y=-\sin \theta \vec{e}_x+\cos \theta \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-05/f47b0b.jpg)
代入上式，得
 $x eX+y eY=(x'\cos\theta-y'\sin\theta) eX+(x'\sin\theta+y'\cos\theta) eY $
所以：
 $$
    \boxed{\begin{cases}
        x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
        y=x'\sin\theta+y'\cos\theta
    \end{cases}}  ...(6.22)
 $$

由(6.22)解出$x',y'$得
$$
    \boxed{\begin{cases}
        x'=x\cos\theta+y\sin\theta\\
        y'=-x\sin\theta+y\cos\theta
    \end{cases}} ...(6.23)
$$

(6.22)式是用新坐标来表示原坐标的公式，(6.23)式是用原坐标来表示新坐标的公式，它们统称为{旋转公式或转轴公式．

#### 例题3
把坐标轴旋转$\frac{\pi}{3}$，求点$P(-2,3)$在新坐标系中的坐标．
解：把已知量代入旋转公式(6.23), 得
 $$
 \begin{split}
x'&=(-2)\cdot \cos\frac{\pi}{3}+3\cdot \sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2}{2},\\
y'&=-(-2)\cdot\sin\frac{\pi}{3}+3  \cos\frac{\pi}{3}=\frac{2\sqrt{3}+3}{2}
\end{split}
$$
所以，$P$点的新坐标是
$$
\left(\frac{3\sqrt{3}-2}{2}, \; \frac{2\sqrt{3}+3}{2}\right)
$$

#### 例题4
 把坐标轴旋转$\frac{\pi}{4}$，求曲线$xy=1$在新坐标系中的方程．
 解： 
 $\theta=\frac{\pi}{4}$，代入旋转公式(6.22), 得
 $$
 \begin{split}
    x&=x'\cos\frac{\pi}{4}-y'\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'-y')\\
    y&=x'\sin\frac{\pi}{4}+y'\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')
\end{split}
$$
代入$xy=1$, 得
 $$ 
 \frac{1}{2}(x'-y')(x'+y')=1 
 $$
即：
 $$
 \frac{{x'}^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}-\frac{{y'}^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=1 
 $$
这就是曲线在新坐标系中的方程，容易看出，它是一条等轴
双曲线（图6.30）．
 ![图片](/uploads/2024-05/2796f9.jpg)

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