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高中数学
第十章：解析几何与圆锥曲线
一般的坐标变换公式
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2024-05-11 08:07
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一般的坐标变换公式
## 一般的坐标变换公式 设$OXY$, $O'X'Y'$是两个坐标系（图6.31），$O'$在坐标系$OXY$中的坐标是$(h,k)$, 容易看出，把坐标系$OXY$作移轴变换，把原点$O$移到$O'(h,k)$得到坐标系$O'XY$然后再绕$O'$旋转$\theta$角就可得到坐标系 $O'X'Y'$, 这就说，上述的一般的坐标变换是平移与旋转的合成．下面我们来确定，平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．  设 $OXY$ 经过移轴后得到的坐标系为$O'XY$ （图6.31），则由平移公式，得 $$ \begin{cases} x=x''+h\\ y=y''+k \end{cases} $$ 再由旋转公式，得 $$ \begin{cases} x''=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\ y''=x'\sin\theta+y'\cos\theta \end{cases} $$ 把(6.25)代入(6.24)，得 $$ \boxed{\begin{cases} x=x'\cos\theta-y'\sin\theta+h\\ y=x'\sin\theta+y'\cos\theta+k \end{cases} } $$ 由(6.26)式解出$x',y'$又可得 $$ \boxed{\begin{cases} x'=(x-h)\cos\theta+(y-k)\sin\theta\\ y'=-(x-h)\sin\theta+(y-k)\cos\theta \end{cases} } $$ (6.26), (6.27)两个公式就是**一般的坐标变换公式**．公式(6.26)是 通过新坐标来表示原坐标，公式(6.27)是通过原坐标来表示新 坐标． #### 例题1 已知直线$x+y-2=0$, 平移坐标轴，使原点移到$O'(1,1)$
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