最后更新: 2024-05-11 08:07 ● 参与者查看: 161 次纠错分享参与项目词条搜索

一般的坐标变换公式

## 一般的坐标变换公式
设$OXY$, $O'X'Y'$是两个坐标系（图6.31），$O'$在坐标系$OXY$中的坐标是$(h,k)$, 容易看出，把坐标系$OXY$作移轴变换，把原点$O$移到$O'(h,k)$得到坐标系$O'XY$然后再绕$O'$旋转$\theta$角就可得到坐标系
$O'X'Y'$, 这就说，上述的一般的坐标变换是平移与旋转的合成．下面我们来确定，平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．
 ![图片](/uploads/2024-05/ad09cb.jpg)
 
 
设 $OXY$ 经过移轴后得到的坐标系为$O'XY$
（图6.31），则由平移公式，得
$$
\begin{cases}
    x=x''+h\\
    y=y''+k
\end{cases}
$$
再由旋转公式，得
$$
    \begin{cases}
        x''=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
        y''=x'\sin\theta+y'\cos\theta
    \end{cases}
$$
把(6.25)代入(6.24)，得
$$
    \boxed{\begin{cases}
        x=x'\cos\theta-y'\sin\theta+h\\
        y=x'\sin\theta+y'\cos\theta+k
    \end{cases} } 
$$

由(6.26)式解出$x',y'$又可得
$$
\boxed{\begin{cases}
    x'=(x-h)\cos\theta+(y-k)\sin\theta\\
    y'=-(x-h)\sin\theta+(y-k)\cos\theta
\end{cases} }
$$
(6.26), (6.27)两个公式就是**一般的坐标变换公式**．公式(6.26)是
通过新坐标来表示原坐标，公式(6.27)是通过原坐标来表示新
坐标．

#### 例题1
已知直线$x+y-2=0$, 平移坐标轴，使原点移到$O'(1,1)$, 再旋转$\left(-\frac{\pi}{4}\right)$角，求直线$\ell$在新坐标系$O'X'Y'$中的方程（图6.32）
 ![图片](/uploads/2024-05/24b656.jpg)
 解：把已知量代入变换公式(6.27), 得
 $$
 \begin{split}
 x&=x'\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)-y'\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+1=\frac{\sqrt{2}}{2}(x'+y')+1\\
y&=x'\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)+y'\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+1=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x'+y')+1   
\end{split} 
$$
入方程$x+y=2$得：
$$y'=0$$
这就是直线$\ell$在新坐标系中的方程．

#### 例题2
讨论线性分式函数$y=\frac{2x+1}{x-1}$的图象．
解：原式可化为 $xy-2x-y-1=0$, 为了求得这个方程的图象，我们希望选择一个新坐标系，使
    图象在新坐标系中有较简单的方程．我们考虑移轴变换，
 $x=x'+h,\qquad y=y'+k $
代入原方程，得
 $x'y'+(k-2)x'+(h-1)y'+hk-2h-k-1=0 $
如果取$h=1$, $k=2$, 上述方程变为
 $x'y'=3 $
这就是图象在新坐标系
$O'X'Y'$中的方程，由例6.17可知它是以新坐标系
的坐标轴为渐近线的等轴双
曲线（图6.33）．
 ![图片](/uploads/2024-05/480fed.jpg)

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