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一般二元二次方程的讨论

> 注意：本节内容涉及更高学科《线性代数》里关于二次型的内容，仅供了解，详见 [二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500)
## 在坐标变换下二元二次方程系数的变换
一般二元二次方程可写为如下形式
$$
A x^2+2 B x y+C y^2+2 D x+2 E y+F=0
$$

方程的系数 $A 、 B 、 C$ 中至少有一个不等于零, 系数中析出因子 2 , 是为了以后演算的方便. 凡坐标满足方程 $(6.28)$ 的点的轨迹叫做二次曲线.
对方程 $(6.28)$, 我们进行平移和旋转变换, 令
$$
\begin{aligned}
& x=x^{\prime} \cos \theta-y^{\prime} \sin \theta+h \\
& y=x^{\prime} \sin \theta+y^{\prime} \cos \theta+k
\end{aligned}
$$

代入 (6.28) 式, 展开合并同类项, 就得到同一个二次曲线在 $O^{\prime} X^{\prime} Y^{\prime}$ 坐标系中的方程为
$$
A^{\prime} x^{\prime 2}+2 B^{\prime} x^{\prime} y^{\prime}+C^{\prime} y^{\prime 2}+2 D^{\prime} x^{\prime}+2 E^{\prime} y^{\prime}+F^{\prime}=0
$$

其中
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}= & A \cos ^2 \theta+2 B \sin \theta \cos \theta+C \sin ^2 \theta \\
2 B^{\prime}= & -2 A \sin \theta \cos \theta+2 B\left(\cos ^2 \theta-\sin ^2 \theta\right)+2 C \sin \theta \cos \theta \\
= & 2 B \cos 2 \theta-(A-C) \sin 2 \theta \\
C^{\prime}= & A \sin ^2 \theta-2 B \cos \theta \sin \theta+C \cos ^2 \theta \\
D^{\prime}= & 2 A h \cos \theta+2 B(k \cos \theta+h \sin \theta)+2 C k \sin \theta \\
& +2 D \cos \theta+2 E \sin \theta \\
E^{\prime}= & -2 A h \sin \theta+2 B(h \cos \theta-k \sin \theta)+2 C k \cos \theta \\
& \quad-2 D \sin \theta+2 E \cos \theta \\
F^{\prime}= & A h^2+2 B h k+C k^2+2 D h+2 E k+F
\end{aligned}
$$

上述关系式 (6.30), 骤看起来是有些繁琐的, 但稍加分析我们不难看出以下几点:
1.一般二元二次方程，经坐标变换后，仍是二元二次方程，这就是说，上述二次曲线的定义与坐标系的选取无关

2 在 $(6.30)$ 中, 令 $h=k=0$, 也就是坐标系只作旋转变换, 这时二次项系数和一次项系数一般都发生改变, 而常数项不变. 新方程 (6.29) 中的二次项系数 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 只与原方程 $(6.28)$ 中二次项系数和转角 $\theta$ 有关, 而与原方程中的一次项系数和常数无关; 新方程 (6.29) 中一次项系数只与原方程 $(6.28)$ 中一次项系数及转角有关, 而与二次项系数和常数无关.
3 在 $(6.30)$ 中, 令 $\theta=0$, 也就是坐标系只作平移变换, 这时二次项系数不变, 
即
$$
A=A^{\prime}, \quad B=B^{\prime}, \quad C=C^{\prime}
$$

而一次项系数和常数项一般都要改变, 且
$$
\begin{aligned}
& D^{\prime}=2 A h+2 B k+2 D \\
& E^{\prime}=2 B h+2 C k+2 E
\end{aligned}
$$

最后让我们来证明, 在一般坐标变换下, 新方程 (6.29) 与原方程 (6.28) 的系数有如下关系:
1. $A+C=A^{\prime}+C^{\prime}$
2. $B^2-A C=B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime}$

证明:
1.
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}+C^{\prime}= & A \cos ^2 \theta+2 B \sin \theta \cos \theta+C \sin ^2 \theta+A \sin ^2 \theta \\
& -2 B \sin \theta \cos \theta+C \cos ^2 \theta \\
= & A\left(\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta\right)+C\left(\sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta\right) \\
= & A+C
\end{aligned}
$$
2.
$$
\begin{aligned}
A^{\prime}-C^{\prime} & =(A-C) \cos 2 \theta+2 B \sin 2 \theta \\
\left(2 B^{\prime}\right)^2+\left(A^{\prime}-C^{\prime}\right)^2 & =(2 B)^2+(A-C)^2
\end{aligned}
$$

即
$$
\begin{aligned}
B^{\prime 2}-A^{\prime} C^{\prime} & =\frac{1}{4}\left[(2 B)^2+(A-C)^2-\left(A^{\prime}+C^{\prime}\right)^2\right] \\
& =\frac{1}{4}\left[(2 B)^2+(A-C)^2-(A+C)^2\right] \\
& =B^2-A C
\end{aligned}
$$

由以上证明可知， $A+C$和$B^2-AC$都是二元二次方程在一般坐标变换下不变的量

## 一般二元二次方程的化简
这节, 我们来研

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