最后更新: 2025-05-31 15:43 查看: 106 次反馈同步训练

圆锥曲线的参数方程

## 参数方程

> 画家拿起笔，在纸上画画，在$t$时刻，可以得到$x=x(t),y=y(t)$ 表明，每一点的横坐标和纵坐标都可以单独看成$t$的函数

在求轨迹的方程时，有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标 $(x, y)$ 所满足的方程，但如果引入合适的第三个变量，分别建立 $x, ~ y$ 与第三个变量的联系，问题常常会比较容易得到解决．

我们先来看一个熟悉的问题：假设空气阻力忽略不计，求炮弹被击发后的运动轨迹的方程。

即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标 $x$ 与 $y$ 的方程表示出来．在物理学中，我们知道，当发射角 $\alpha$ ，发射时的初速度 $v_0$ 确定后，炮弹位置只与运行时间 $t$ 有关，所以可以考虑引人时间 $t$ 作为第三个变量来求运动轨迹的方程。

![图片](/uploads/2025-04/000253.jpg)
 
以炮口所在位置 $O$ 为坐标原点，水平方向为 $x$ 轴，铅垂方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图 2－5－2 所示．设炮弹发射 $t s$ 后的位置在点 $P(x, y)$ 处．炮弹的初速度 $v_0$ 可分解为水平方向和铅垂方向的两个速度，其中在水平方向上的初速度为 $v_0 \cos \alpha$ ，在铅垂方向上的初速度为 $v_0 \sin \alpha$ ．由于忽略了空气阻力，炮弹在运动过程中只在铅垂方向受到重力作用．容易求得，炮弹的位置坐标 $(x, y)$ 与时间 $t$ 之间的关系：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=v_0 t \cos \alpha, \\
y=v_0 t \sin \alpha-\frac{1}{2} g t^2
\end{array}\left(0 \leqslant t \leqslant t_1\right),\right.
$$

其中 $g$ 是重力加速度的值，$t_1$ 是炮弹击中目标的时刻．
我们把上述方程组中的变量 $t$ 消去后，观察它表示的是什么曲线．由第一个方程得 $t=\frac{x}{v_0 \cos \alpha}$ ，代人第二个方程，消去参数 $t$ ，得到炮弹运动的轨迹方程为

$$
y=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x
$$

由于 $v_0, ~ \alpha, ~ g$ 都是定值，因此炮弹运动的轨迹是一条抛物线．
在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线．首先，因为炮弹被击发前是静止的，必须 $x \geqslant 0$ ．又因为炮弹击中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨迹只是 $x \geqslant 0$ 与炮弹击中目标前的一段抛物线．例如，设目标点与发射点在同一水平线上，则恒有 $y \geqslant 0$ ，从而由 $-\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2+$ $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x \geqslant 0$ 求得 $x \leqslant \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}$ ．因此，炮弹运动轨迹是上述抛物线
在 $0 \leqslant x \leqslant \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}$ 之间的部分．
由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别求出 $x, ~ y$ 与某个随动点变化的变量 $t$ 所满足的方程 $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ ，得到方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=f(t), \\
y=g(t),
\end{array}\right.
$$

其中 $t$ 在某个范围内变动．
如果对于 $t$ 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 $P(x, y)$ 都在曲线 $C$ 上；反之，对于曲线 $C$ 上任意一点的坐标，都存在 $t$ 的某个允许值使得上述方程组成立，那么上述方程组就叫做曲线 $C$ 的参数方程（parametric equation），变量 $t$ 叫做参变量或参数（parameter）。

相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标 $x, ~ y$ 之间关系的方程 $F(x, y)=0$ 叫做曲线的普通方程．如果像上例那样可以消去参数方程中的参数 $t$ ，就可以将参数方程化为普通方程．

但在不少情况下，由曲线的参数方程并不一定能够化为曲线的普通方程．举一个通俗的例子．假设有一只小虫在平面直角坐标系中爬行，小虫的位置坐标 $(x, y)$ 是时间 $t$ 的函数：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=f(t), \\
y=g(t) .
\end{array}\right.
$$

这揭示了小虫随时间 $t$ 变化的运动规律，就是小虫运动轨迹的一个参数方程．由于小虫爬行的轨迹不似炮弹那样一直向前，而是可以倒退及与自身相交，不可能化为普通方程，这时，用参数方程来表示这一复杂的运动轨迹就成了唯一合理的选择了。

由此可见，用参数方程表示一个曲线，不仅可能有具体的物理或几何意义，也更具有一般性，应用起来有时也更为简便．

`例` 求所有斜率为 1 的直线被椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 所截得的线段的中点的轨迹．

解 如图 2－5－3，设直线 $y=x+b$ 被椭圆所截得的线段的两个端点 $A, ~ B$ 的坐标 $\left(x_1, y_1\right), ~\left(x_2, y_2\right)$ 是如下方程组的解：

![图片](/uploads/2025-04/ef6ccf.jpg)
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{x^2}{4}+y^2=1 \\
y=x+b
\end{array}\right.
$$

消去 $y$ ，并整理得

$$
5 x^2+8 b x+4\left(b^2-1\right)=0
$$

当判别式 $\Delta=(8 b)^2-4 \times 5 \times 4\left(b^2-1\right)=-16\left(b^2-5\right)>0$ ，即 $-\sqrt{5}<b<\sqrt{5}$ 时，上述方程有两个不同的实数解，即直线被椭圆所截的线段存在并且线段两个端点横坐标之和为 $x_1+x_2=-\frac{8}{5} b$ ．

设 $A B$ 的中点为 $M\left(x_M, y_M\right)$ ，则

$$
x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{4}{5} b, y_M=x_M+b=\frac{b}{5} .
$$

所以，

$$
\left\{\begin{array}{l}
x_M=-\frac{4}{5} b, \\
y_M=\frac{b}{5}
\end{array}(-\sqrt{5}<b<\sqrt{5})\right.
$$

就是线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹的参数方程．
消去 $b$ ，得 $x_M+4 y_M=0$ ．由 $-\sqrt{5}<b<\sqrt{5}$ 及 $x_M=-\frac{4 b}{5}$ ，可得 $x_M \in\left(-\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5}\right)$ ．所以点 $M$ 的轨迹方程为 $x+4 y=0$ ， $x \in\left(-\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{4 \sqrt{5}}{5}\right)$ ，即点 $M$ 的轨迹是直线 $x+4 y=0$ 在椭圆内的

部分．
 
 
 `例`已知点 $M(x, y)$ 在椭圆 $C: \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上，求 $x+y$的最大值，并求 $x+y$ 取得最大值时点 $M$ 的坐标．

解 利用三角恒等式 $\cos ^2 \theta+\sin ^2 \theta=1$ ，可以验证

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=4 \cos \theta, \\
y=3 \sin \theta,
\end{array} \quad \theta \in R \right.
$$

是椭圆

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