最后更新: 2025-05-31 15:43 查看: 208 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆锥曲线的参数方程

## 参数方程

> 画家拿起笔，在纸上画画，在$t$时刻，可以得到$x=x(t),y=y(t)$ 表明，每一点的横坐标和纵坐标都可以单独看成$t$的函数

在求轨迹的方程时，有时根据条件很难直接建立曲线上的动点坐标 $(x, y)$ 所满足的方程，但如果引入合适的第三个变量，分别建立 $x, ~ y$ 与第三个变量的联系，问题常常会比较容易得到解决．

我们先来看一个熟悉的问题：假设空气阻力忽略不计，求炮弹被击发后的运动轨迹的方程。

即使建立平面直角坐标系，炮弹的运动规律也难以直接用炮弹位置的坐标 $x$ 与 $y$ 的方程表示出来．在物理学中，我们知道，当发射角 $\alpha$ ，发射时的初速度 $v_0$ 确定后，炮弹位置只与运行时间 $t$ 有关，所以可以考虑引人时间 $t$ 作为第三个变量来求运动轨迹的方程。

![图片](/uploads/2025-04/000253.jpg)
 
以炮口所在位置 $O$ 为坐标原点，水平方向为 $x$ 轴，铅垂方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系，如图 2－5－2 所示．设炮弹发射 $t s$ 后的位置在点 $P(x, y)$ 处．炮弹的初速度 $v_0$ 可分解为水平方向和铅垂方向的两个速度，其中在水平方向上的初速度为 $v_0 \cos \alpha$ ，在铅垂方向上的初速度为 $v_0 \sin \alpha$ ．由于忽略了空气阻力，炮弹在运动过程中只在铅垂方向受到重力作用．容易求得，炮弹的位置坐标 $(x, y)$ 与时间 $t$ 之间的关系：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=v_0 t \cos \alpha, \\
y=v_0 t \sin \alpha-\frac{1}{2} g t^2
\end{array}\left(0 \leqslant t \leqslant t_1\right),\right.
$$

其中 $g$ 是重力加速度的值，$t_1$ 是炮弹击中目标的时刻．
我们把上述方程组中的变量 $t$ 消去后，观察它表示的是什么曲线．由第一个方程得 $t=\frac{x}{v_0 \cos \alpha}$ ，代人第二个方程，消去参数 $t$ ，得到炮弹运动的轨迹方程为

$$
y=-\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x
$$

由于 $v_0, ~ \alpha, ~ g$ 都是定值，因此炮弹运动的轨迹是一条抛物线．
在这个实际问题中，炮弹运动的轨迹不可能是整条抛物线．首先，因为炮弹被击发前是静止的，必须 $x \geqslant 0$ ．又因为炮弹击中目标后也不再按原有轨迹运动，所以我们所讨论的炮弹运动轨迹只是 $x \geqslant 0$ 与炮弹击中目标前的一段抛物线．例如，设目标点与发射点在同一水平线上，则恒有 $y \geqslant 0$ ，从而由 $-\frac{g}{2 v_0^2 \cos ^2 \alpha} x^2+$ $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} x \geqslant 0$ 求得 $x \leqslant \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}$ ．因此，炮弹运动轨迹是上述抛物线
在 $0 \leqslant x \leqslant \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g}$ 之间的部分．
由上述讨论可以看到，在求曲线方程时，我们可以先分别求出 $x, ~ y$ 与某个随动点变化的变量 $t$ 所满足的方程 $x=f(t)$ ， $y=g(t)$ ，得到方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=f(t), \\
y=g(t),
\end{array}\right.
$$

其中 $t$ 在某个范围内变动．
如果对于 $t$ 的每一个允许值，由上述方程组所确定的点 $P(x, y)$ 都在曲线 $C$ 上；反之，对于曲线 $C$ 上任意一点的坐标，都存在 $t$ 的某个允许值使得上述方程组成立，那么上述方程组就叫做曲线 $C$ 的参数方程（parametric equation），变量 $t$ 叫做参变量或参数（parameter）。

相对于参数方程而言，直接给出曲线上点的坐标 $x, ~ y$ 之间关系的方程 $F(x, y)=0$ 叫做曲线的普通方程．如果像上例那样可以消去参数方程中的参数 $t$ ，就可以将参数方程化为普通方程．

但在不少情况下，由曲线的参数方程并不一定能够

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