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圆锥曲线的极坐标方程

##  极坐标系与极坐标方程

通过前面的学习，我们知道，在平面直角坐标系下，可以用一对有序实数表示平面上点的位置，进而建立曲线的直角坐标方程，从而用代数方法研究这些曲线的性质．但是，有些简单的曲线，在用上述方法求它的方程时，却会遇到比较大的困难．例如，设想平面上有一个动点 $M$ 在一条从点 $O$ 出发的射线 $O A$ 上做匀速运动逐渐远离点 $O$ ，而射线 $O A$ 本身又绕点 $O$ 以固定的角速度旋转．此时，动点 $M$ 在平面上的运动轨迹称为等速螺线（图 2－5－4），它在数学内部以及机械，工程等领域有广泛的应用．如图 2－5－5 所示的由两条对称的等速螺线拼成的心形转轮（红线所示）就会把转轮的旋转运动转化为横杆（蓝线所示）的往复水平运动．
 ![图片](/uploads/2025-04/0be8be.jpg)
但是，在平面直角坐标下要建立等速螺线的方程是一件比较复杂的事：把两点的距离用点的坐标写出，需要用到二次根式；而把旋转角用坐标表示出来，更要借助于反三角函数．因此，研究等速螺线及其他类似曲线，需要另辟蹊径．

事实上，确定平面上点的位置，采用平面直角坐标系并不是唯一的方法．现实生活中，人们也常用方向（实际上是角）和距离来确定平面上点的位置． 这就是极坐标系的基本思想．
## 极坐标
如图 2－5－7，在平面上取一定点 $O$ ，以 $O$ 为端点引射线 $O x$ ，再选定一个单位长度和旋转角的正方向（一般规定逆时针方向为正方向）．这时对于平面上异于点 $O$ 的任意一点 $M$ ，设 $\rho=$ $|O M|, \theta$ 表示以射线 $O x$ 为始边，射线 $O M$ 为终边的角，则点 $M$ 的位置可以用有序数对 $(\rho, \theta)$ 表示．我们把这样的坐标系叫做极坐标系（polar coordinate system）。

![图片](/uploads/2025-04/5b2bcd.jpg)
 
在极坐标系中，定点 $O$ 叫做**极点**（pole），射线 $O x$ 叫做极轴 （polar axis），$(\rho, \theta)$ 就叫做点 $M$ 的极坐标（polar coordinate），其中 $\rho$ 叫做点 $M$ 的极径（polar radius），$\theta$ 叫做点 $M$ 的极角（polar angle）．

与平面直角坐标系不一样的是，在极坐标系中，点的极坐标不唯一，如果 $(\rho, \theta)$ 是一点的极坐标，那么 $(\rho, \theta+2 n \pi)(n \in Z )$ 都可以作为它的极坐标．我们还允许 $\rho$ 取负值，当 $\rho<0$ 时，规定 $(\rho, \theta)$ 对应的点为 $(-\rho, \theta+\pi)$ ．此外，规定极点的坐标为 $(0, \theta)$ ，其中 $\theta$ 可以是任意角．

不难发现，在极坐标系中，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(-\rho, \theta)$ 关于极点对称，点 $(\rho, \theta)$ 与 $(\rho,-\theta)$ 关于极轴对称．

尽管在极坐标系中点的坐标不唯一，但是在极坐标系中，除了极点外，平面上的所有点所成的集合和实数对集合 $\{(\rho, \theta) \mid \rho>0,0 \leqslant \theta<2 \pi\}$ 是一一对应的．也就是说，如果规定极径 $\rho$ 取正值，极角 $\theta$ 取小于 $2 \pi$ 的非负值，那么极点以外的任何点的极坐标也就唯一确定了．

`例`求圆心是 $C(a, 0)$ ，半径是 $a$ 的圆的极坐标方程．
解 如图 2－5－9，由题意知圆 $C$ 经过极

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