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课外阅读：圆锥曲线的终极统一

## 历史
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家**阿波罗尼斯**采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）参考下图。

![图片](/uploads/2025-02/98afa4.jpg)

早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼，但此后圆锥曲线发展缓慢。直到17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是经过无穷远点的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。

## 笛卡尔坐标
有别于传统的通过点、线、面、体等纯几何方法研究几何图形，解析几何将数与形有机地结合起来，形成一门新的学科． 它的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，并借助于平面上的点和有序实数对之间所建立的一一对应关系，将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来．于是几何问题便可归结
为代数问题，反过来又可通过代数问题的研究发现新的几何结果．

解析几何的建立主要归功于两位17世纪的法国数学家笛卡儿．1637年笛卡儿出版了著名的哲学著作《方法论》，书中发表了关于笛卡尔坐标系的研究。
这种坐标系就是我们初中学的“直角坐标系”，因此为了纪念笛卡尔，所以，直角坐标系也被成为“笛卡尔坐标系”。
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## 终极统一
圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线，圆有时候可以看成椭圆的一种特殊情况）
 ![图片](/uploads/2024-09/cd3eb5.jpg)
 
能否找到一个定义来统一这3个方程？最终在离心率的概念下，统一了圆锥曲线方程。

**动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的集合是圆锥曲线。**

对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。特别的当$e=0$为圆。

如下图 有固定焦点$F$和准线的圆（$e=0$

其他版本
【高中数学】为什么引入离心率【高中数学】椭圆的离心率【高中数学】附录：圆锥曲线的极坐标方程

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