最后更新: 2025-02-09 06:56 查看: 164 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

课外阅读：圆锥曲线的终极统一

## 历史
2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。古希腊数学家**阿波罗尼斯**采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；用平行于圆锥的轴的平面截取，可得到双曲线的一支（把圆锥面换成相应的二次锥面时,则可得到双曲线）参考下图。

![图片](/uploads/2025-02/98afa4.jpg)

早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼，但此后圆锥曲线发展缓慢。直到17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是经过无穷远点的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式，这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。

## 笛卡尔坐标
有别于传统的通过点、线、面、体等纯几何方法研究几何图形，解析几何将数与形有机地结合起来，形成一门新的学科． 它的基本思想是在平面上引进“坐标”的概念，并借助于平面上的点和有序实数对之间所建立的一一对应关系，将一个代数方程与平面上一条曲线对应起来．于是几何问题便可归结
为代数问题，反过来又可通过代数问题的研究发现新的几何结果．

解析几何的建立主要归功于两位17世纪的法国数学家笛卡儿．1637年笛卡儿出版了著名的哲学著作《方法论》，书中发表了关于笛卡尔坐标系的研究。
这种坐标系就是我们初中学的“直角坐标系”，因此为了纪念笛卡尔，所以，直角坐标系也被成为“笛卡尔坐标系”。
 ![图片](/uploads/2024-09/ad9596.svg){width=200px}
 
## 终极统一
圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线，圆有时候可以看成椭圆的一种特殊情况）
 ![图片](/uploads/2024-09/cd3eb5.jpg)
 
能否找到一个定义来统一这3个方程？最终在离心率的概念下，统一了圆锥曲线方程。

**动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率）的点的集合是圆锥曲线。**

对于$0<e<1$得到椭圆，对于$e=1$得到抛物线，对于$e>1$得到双曲线。特别的当$e=0$为圆。

如下图 有固定焦点$F$和准线的圆（$e=0$) 、椭圆（$e=1/2$）、抛物线 ($e=1$)和双曲线（$e=2$）图形
 ![图片](/uploads/2024-09/5e60df.svg) 
 
 ### 一些名词
 #### 椭圆
  ![图片](/uploads/2025-02/9f02f6.svg)
  
  
    #### 双曲线
  ![图片](/uploads/2025-02/291df4.svg)
  
   #### 抛物线
   ![图片](/uploads/2025-02/169436.svg)
  
  
 ## 截取圆柱面
 在前面的数学实验中!我们用平面去截圆锥时!可以得到四种不同的截面曲线，事实上，我们也可以用平面来截圆柱，观察分析其截面曲线的形状，很显然当平面与圆柱的轴垂直时，可以得到圆，而用平面斜截圆柱时，截面曲线从直观上看是椭圆如图，历史上法国人Dandelin采用一个巧妙的方法证明了这一结论
  ![图片](/uploads/2025-02/056373.jpg)
  
如图 2，将两个同样大小的球嵌入圆柱内，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与截面和圆柱侧面均相切，两球面与圆柱侧面分别相切于以 $B C, D E$ 为直径且平行于圆柱底面的大圆 $O_1$ 和 $O_2$ ，两球面与斜截面分别相切于点 $F$ 和 $F^{\prime}$ ，斜截面与 $B D, C E$ 分别交于点 $A$ 和 $A^{\prime}, P$ 为所得截面边缘上一点。设圆柱过点 $P$ 的母线与圆 $O_1$ 和 $O_2$ 分别交于点 $M$ 和 $N$ ，则 $P M$ 和 $P N$ 分别是两球面的一条切线．

由于 $P M$ 和 $P F$ 是同一个球面的切线，故 $P M=P F$ ，同理 $P N=P F^{\prime}$ ，于是有 $P F+$ $P F^{\prime}=P M+P N=M N$ 为定值，即截面曲线上任意一点 $P$ 到 $F$ 和 $F^{\prime}$ 的距离之和为定值，由椭圆的定义可知，这时的截面曲线是椭圆，而两球与斜截面的切点是椭圆的焦点．

上一篇：一般二元二次方程的讨论

下一篇：历史知识：解析几何的诞生与发展

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)