最后更新: 2025-02-08 10:05 查看: 876 次反馈刷题

历史知识：解析几何的诞生与发展

## 解析几何的诞生与发展
从 14 世纪到 17 世纪，欧洲经历了一场影响深远的思想文化运动，这是一段科学与艺术的革命时期．那时人们以复兴古代希腊，罗马文化为号召来表达自己的文化主张，因而被称为文艺复兴运动。

文艺复兴运动伴随着资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。机械的使用，航海业的发展以及武器的改进等诸多需求，使得对运动与变化的研究成为科学的中心问题。另一方面， 16 世纪代数学的发展为研究运动与变化创造了必要条件．1591年法国数学家韦达（1540—1603）首先在代数中有意识地使用字母，不仅用字母表示未知数，而且表示已知数，包括方程中的系数和常数．内外因素的促进，导致了变量数学亦即近代数学的兴起。

解析几何的发明，是变量数学的第一座里程碑．
解析几何的出发点，是用坐标确定点的位置．这种思想古已有之．古希腊的数学家和地理学家埃拉托色尼（约前 275 —前 194 ，他还是历史学家，诗人，天文学家）就设计出了地球上的第一套经纬度系统，还画了一张有 7 条经线和 6 条纬线的世界地图．他已经发明了比平面坐标系还复杂的球面坐标系！

但是，解析几何诞生的标志还不仅仅是坐标，而是通过坐标建立曲线与方程的联系。古希腊数学家关于圆锥曲线性质的推导，阿拉伯人利用圆锥曲线交点来求三次方程的根，都蕴含了这种思想．法国数学家奥雷斯姆（约 1323－1382）在《论形态幅度》一书中提出的形态幅度原理（或称图线原理），已经接触到函数图象的表示法．他被认为是解析几何最重要的前驱。

解析几何的真正发明，归功于另外两位法国人：笛卡儿 （1596—1650）和费马（1601—1665）。

![图片](/uploads/2025-02/c652bf.jpg)
 
为了恢复失传的古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约前 262—前190）的著作《论平面轨迹》，费马在 1630 年撰写了论文《平面与立体轨迹引论》，其中清晰地阐述了他所提出的解析几何原理．他指出：＂两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。＂他还对一般直线和圆的方程，以及双曲线，椭圆，抛物线进行了讨论．后来他还在通信中谈到了柱面，椭圆抛物面，双叶双曲

费马面和椭球面，指出了含有三个未知量的方程表示一个曲面等结论。但是，《平面与立体轨迹引论》这一重要著作在他去世 14 年后才出版，因而人们对解析几何的认识
主要来自笛卡儿。
费马是从方程出发研究轨迹的．而笛卡儿相反，他从一个古老的轨迹问题出发，来寻找轨迹对应的方程．殊途同归，都导致了解析几何这一重大发明．
 ![图片](/uploads/2025-02/a09423.jpg)
 
 笛卡儿在 1637 年发表了著名的哲学著作《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》，简称《方法论》。此书有三个附录，分别是《光学》《气象学》和《几何学》。在《几何学》中，他从一个著名的求轨迹的古希腊数学问题出发，引出了自己的方法：将坐标通过＂点动成线＂的观点具体地用到建立轨迹的方程上。对方程他不仅把它看成是未知数和已知数的关系式，而且更多地把它看成两个变量之间的关系式．这是研究曲线的新方法的思想基础。这里他引出了斜角坐标系和直角坐标系，但是还没有引入 $y$ 轴。笛卡儿把对图形的研究转化为对方程的研究，促进变量进入数学，具有划时代的意义。

笛卡儿把《几何学》作为《方法论》的附录，意味着他的几何学发现（乃至光学，气象学等更多的见解）是在其方法论原理指导下获得的．对更广泛的问题，他提出了一个大胆的计划：
＂一切问题可以转化成数学问题；一切数学问题可以转化成代数问题；一切代数问题可以转化成方程的问题．＂

这样的想法似乎把世界看得太简单了。但使用笛卡儿坐标方法，确实能把一切初等几何中的问题转化为代数方程问题或代数式之间的不等式问题．

几何问题化为代数方程或代数不等式问题，并不意味着问题得到了解答．因为对应的多变元的代数方程组可能是很复杂的问题。直到 340 年后的 1977 年，中国的杰出数学家吴文俊（1919－2017），遵循元朝数学家朱世杰的思想与方法的基本实质，采用美国数学家里特（1893－1951）提出的某些原理，总结出用电子计算机处理多项式方程组的一般方法，才给出了等式型初等几何命题机械化判定的有效算法，国际上誉为吴消元法．至于几何不等式的机械化判定，以及几何问题的机械化类人求解等进一步的难题，也在以后的二十年间相继被中国科学家突破．
由费马和笛卡儿开创的解析几何，在后人的工作中日趋完善并得到发展．瑞士数学家克莱姆（1704—1752）引入 $y$ 轴；英国数学家沃利斯（1616－1703）引进负的纵，横轴并导出了各种圆锥曲线方程；瑞士数学家雅科布•伯努利（1654－1705）引入了极坐标，极大地便利了某些曲线方程的建立。德国数学家赫尔曼（1678—1733）把极坐标的概念进一步完善，并给出了直角坐标系和极坐标系的变换公式．瑞士数学家欧拉（1707－1783）在 1748 年出版的《无穷小分析引论》中，给出了现代形式下的解析几何的系统叙述，这是现代意义下的第一本解析几何。

解析几何用坐标把点和数组对应起来．数能加，点呢？如果直接对点运算，不是更简单吗？1788 年，法国数学家拉格朗日（1736－1813）在他的《解析力学》中以向量形式表示力，速度，加速度等具有方向的量，后经众多数学家的努力，诞生了 ＂向量代数＂。为弥补向量代数的不足，我国数学家莫绍揆（1917—2011）又创立了质点几何．这些都可以看作是解析几何的新发展．关于这方面的研究，仍在进行之中．

文章来源：湘教版高中数学选择性必修一 P102

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：课外阅读：圆锥曲线的终极统一

下一篇：阅读：椭圆和双曲线的第三定义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)