最后更新: 2024-09-18 17:04 ● 参与者查看: 319 次纠错分享评论参与项目

椭圆的性质

## 椭圆的性质
在解析几何中, 可利用曲线的方程研究曲线的几何性质. 我们从椭圆的标准方程出发，可以得到椭圆的下列性质

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ...(1)
$$

### 对称性

从椭圆的形状上看, 粗圆有两条相互垂直的对称轴. 这里, 也可以通过方程(1)讨论椭圆的对称性. 容易验证, 如果点 $M_1(x, y)$的坐标满足方程(1), 那么它关于 $y$ 轴的对称点 $M_2(-x, y)$ 、关于 $x$ 轴的对称点 $M_3(x,-y)$ 及关于坐标原点的对称点 $M_4(-x,-y)$的坐标也都满足方程(1) (下图). 所以椭圆关于 $y$ 轴、 $x$ 轴和坐标原点对称. 因此, 椭圆既是轴对称图形, 有两条互相垂直的对称轴; 也是中心对称图形, 其唯一的对称中心叫做椭圆的中心.
 ![图片](/uploads/2024-09/f0cdc3.jpg)

### 顶点
如下图, 椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点 (vertex).
 ![图片](/uploads/2024-09/902060.jpg)

在方程(1)中, 令 $y=0$, 得 $x= \pm a$ ；令 $x=0$, 得 $y= \pm b$.所以椭圆与两条坐标轴的交点分别是 $A_1(-a, 0) 、 A_2(a, 0)$ 、 $B_1(0,-b) 、 B_2(0, b)$. 这四个点都是椭圆的顶点.

因为 $a>b>0$, 我们把线段 $A_1 A_2$ 叫做椭圆的长轴 (long axis),长轴的长等于 $2 a$; 线段 $B_1 B_2$ 叫做椭圆的短轴 (short axis), 短轴的长等于 $2 b$. 方便起见, 把 $a$ 和 $b$ 分别称为椭圆的长半轴的长和短半轴的长. 椭圆的焦距为 $2 c$, 椭圆的半焦距为 $c$. 椭圆的两个焦点都在它的长轴上. 由于 $a^2=b^2+c^2$, 焦点和短半轴顶点的距离就等于长半轴的长.

由椭圆的对称性知, 椭圆的长轴和短轴分别所在的直线就是椭圆的两条对称轴.

由方程(1)可知, 椭圆上每一点的坐标 $(x, y)$ 都满足不等式

即

$$
\begin{gathered}
\frac{x^2}{a^2} \leqslant 1, \frac{y^2}{b^2} \leqslant 1 \\
-a \leqslant x \leqslant a,-b \leqslant y \leqslant b
\end{gathered}
$$

这说明椭圆位于直线 $x= \pm a$ 和直线 $y= \pm b$ 所围成的矩形内

![图片](/uploads/2024-09/a13090.jpg)
 
 ##  离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 $e=\frac{c}{a}$, 叫做椭圆的离心率 (eccentricity).

因为 $a>c>0$, 所以 $0<e<1$. 在 $a$ 确定的条件下, $e$ 越接近于 1 , 则 $c$ 越接近于 $a$, 从而 $b=\sqrt{a^2-c^2}$ 越小, 因此椭圆越扁;反之, $e$ 越接近于 0 , 则 $c$ 越接近于 0 , 从而 $b$ 越接近于 $a$, 这时椭圆就越接近于圆.

`例` 求椭圆 $9 x^2+25 y^2=225$ 的长轴和短轴的长、离心率以及焦点和顶点的坐标。

解 将给定的椭圆方程化成标准方程

$$
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1
$$

这里 $a=5, b=3, c=\sqrt{a^2-b^2}=4$.
所以, 椭圆的长轴和短轴的长分别是 10 和 6 , 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$,两个焦点在 $x$ 轴上, 它们的坐标分别是 $(-4,0)$ 和 $(4,0)$, 四个顶点的坐标分别是 $(-5,0) 、(5,0) 、(0,-3) 、(0,3)$.

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