最后更新: 2025-02-12 06:59 查看: 166 次反馈同步训练

环形排列

## 环形排列、重复派和和组合
### 环形排列
我们已经学握了从 $n$ 个不同的元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素的排列的知识了, 那么怎样解决环形排列的问题呢?

我们先从最简单的情况入手, 就是先找出环形排列与直线排列的相互关系,然后利用直线排列的知识解决环形排列的问题.

首先在环形排列中, 下面的排列都是当作相同的排列的 (图 2.2).
 ![图片](/uploads/2024-09/ca301b.jpg)
 因为从甲开始, 按同一方向, 例如顺时针方向看过去都是乙, 所以尽管位置不同, 但仍然是同一样的元素的排列顺序.

又例如三个不同元素甲、乙、丙如图 2.3 的三个环形排列也都算是相同的排列, 而且与从谁开始无关, 即甲 $\rightarrow$ 乙 $\rightarrow$ 丙 $\rightarrow$ 甲、乙 $\rightarrow$ 丙 $\rightarrow$ 甲 $\rightarrow$ 乙与丙 $\rightarrow$ 甲 $\rightarrow$ 乙 $\rightarrow$ 丙, 也都算作是相同的环形排列.

从上述的例子, 可以得到三个不同元素的环形排列数应该是 2 . 具体的排列是：甲一乙一丙一甲与甲一丙一乙一甲。
 ![图片](/uploads/2024-09/9be622.jpg)
 现在, 我们再来分析一下环形排列与直线排列不同的特点. 我们已经知道下列三个环形排列都是相同的排列（图 2.4）
  ![图片](/uploads/2024-09/f1cd7e.jpg)
  
  如果我们从图上所示的地方把环切断, 并把环拉成直线后, 我们却可以得到三个不同的直线的排列, 就是:

甲、乙、丙；丙、甲、乙；乙、丙、甲
而三个不同元素的全排列数是 $\mathrm{P}_3^3$, 所以三个不同元素的环形排列数是 $\frac{\mathrm{P}_3^3}{3}$

## 环排列定理3
$m$ 个不同元素的环形排列数就是：

$$
\frac{\mathrm{P}_m^m}{m}=\frac{m!}{m}=(m-1)!
$$
证明:
设有 $m$ 个不同元素排成一个环形, 如图 (图 2.5) 就是按顺时针方向的一
 ![图片](/uploads/2024-09/0e76b8.jpg)
 
 个排列.

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