最后更新: 2025-02-12 06:59 查看: 88 次反馈刷题

环形排列

## 环形排列、重复派和和组合
### 环形排列
我们已经学握了从 $n$ 个不同的元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素的排列的知识了, 那么怎样解决环形排列的问题呢?

我们先从最简单的情况入手, 就是先找出环形排列与直线排列的相互关系,然后利用直线排列的知识解决环形排列的问题.

首先在环形排列中, 下面的排列都是当作相同的排列的 (图 2.2).
 ![图片](/uploads/2024-09/ca301b.jpg)
 因为从甲开始, 按同一方向, 例如顺时针方向看过去都是乙, 所以尽管位置不同, 但仍然是同一样的元素的排列顺序.

又例如三个不同元素甲、乙、丙如图 2.3 的三个环形排列也都算是相同的排列, 而且与从谁开始无关, 即甲 $\rightarrow$ 乙 $\rightarrow$ 丙 $\rightarrow$ 甲、乙 $\rightarrow$ 丙 $\rightarrow$ 甲 $\rightarrow$ 乙与丙 $\rightarrow$ 甲 $\rightarrow$ 乙 $\rightarrow$ 丙, 也都算作是相同的环形排列.

从上述的例子, 可以得到三个不同元素的环形排列数应该是 2 . 具体的排列是：甲一乙一丙一甲与甲一丙一乙一甲。
 ![图片](/uploads/2024-09/9be622.jpg)
 现在, 我们再来分析一下环形排列与直线排列不同的特点. 我们已经知道下列三个环形排列都是相同的排列（图 2.4）
  ![图片](/uploads/2024-09/f1cd7e.jpg)
  
  如果我们从图上所示的地方把环切断, 并把环拉成直线后, 我们却可以得到三个不同的直线的排列, 就是:

甲、乙、丙；丙、甲、乙；乙、丙、甲
而三个不同元素的全排列数是 $\mathrm{P}_3^3$, 所以三个不同元素的环形排列数是 $\frac{\mathrm{P}_3^3}{3}$

## 环排列定理3
$m$ 个不同元素的环形排列数就是：

$$
\frac{\mathrm{P}_m^m}{m}=\frac{m!}{m}=(m-1)!
$$
证明:
设有 $m$ 个不同元素排成一个环形, 如图 (图 2.5) 就是按顺时针方向的一
 ![图片](/uploads/2024-09/0e76b8.jpg)
 
 个排列. 其次, $a_1$ 不动, 改变 $a_2, a_3, \ldots, a_m$ 的顺时针排列顺序, 就得到第二个不同的环形排列. 因此, 如果 $a_1$ 不动, 要使 $a_2, a_3, \ldots, a_m$ 有不同的排列, 其不同的排列数为 $(m-1)!$, 故 $m$ 个不同元素的环形排列数为 $\mathrm{P}_{m-1}^{m-1}=(m-1)$ !

**定理 4**
从 $n$ 个不同的元素中, 任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复的元素的环形排列数 $\mathrm{C}_n^m \cdot(m-1)!$.

证明: 从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leq n)$ 个元素进行环形排列, 我们第一步可以先从 $n$ 个元素中先取出 $m$ 个组成一组, 第二步是把 $m$ 个元素排成一圈,根据乘法原理, 其排列数应为:

$$
\mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{P}_{m-1}^{m-1}=\mathrm{C}_n^m(m-1)!
$$

`例`从 10 个不同元素中取出 6 个元素排成一圈, 有多少种不同的排法?
解: 从 10 个不同元素中取出 6 个的环形排列数为:

$$
\mathrm{C}_{10}^6 \cdot \mathrm{P}_{6-1}^{6-1}=\mathrm{C}_{10}^4 \cdot 5!=210 \cdot 120=25200
$$

答：有 25200 种不同的排法.

`例`有五个男同学与五个女同学围成圆圈跳集体舞，如果男女相间，问有几种不同的排列方法?

解：第一步，五个男同学先作环形排列，其排列数为 4 ；
第二步，五个女同学分别站在两个男同学之间的位置上作全排列。

$$
\therefore \quad 4!\cdot 5!=2880
$$

答：有 2880 种不同的排列方法.

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【高中数学】排列

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