组合★★★★★

> 组合里，组合记法有苏联式记法 $C_n^m$   和美国式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$。请注意两个记法上下位置正好颠倒。国内高中教材多采用苏式记法，而大学或数学竞赛等常采用美式记法。即：$\mathrm{C}_n^m=\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)= \frac{n!}{(n-m)! m!}$

### 引入
① 平面上有 5 个不同的点 $A, B, C, D, E$ ，以其中两个点为端点的**线段**共有多少条？

分析 如图4.3-1，以 $A$ 为端点，到其余四点的线段有 4条：$A B, A C, A D, A E$ ．
$A$ 不是端点，以 $B$ 为端点之一，到其余三点的线段有 3 条： $B C, B D, B E$ ；
$A, B$ 都不是端点，$C$ 为端点之一，到其余两点的线段有 2 $DE$

![图片](/uploads/2025-02/3970d8.jpg)

共有 $4+3+2+1=10$（条）不同的线段．

②从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，共有多少种不同的取法？

分析 从 $a, b, c, d$ 这 4 个字母中，取出 3 个组成一组，所有取法为 $a b c, a b d, a c d, b c d$.
共有 4 种不同的取法．

上述问题可以看到，取出的数据与顺序无关。

> **组合和排列最大的区别是：如果与顺序有关是排列问题，如果与顺序无关就是组合问题。**

`例` 用 $0 \sim 9$ 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
分析：在 $0 \sim 9$ 这 10 个数字中，因为 0 不能在百位上，而其他 9 个数字可以在任意数位上，因此 0 是一个特殊的元素．一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题．

**解法1**：如图  所示，由于三位数的百位上的数字不能是 0 ，所以可以分两步完成：第 1 步，确定百位上的数字，可以从 $1 \sim 9$ 这 9 个数字中取出 1 个，有 $P_9^1$ 种取法；第 2 步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 9 个数字中取出 2 个，有 $P_9^2$ 种取法。

![图片](/uploads/2025-12/5ce3c4.jpg)
 
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为

$$
P_9^1 \times P_9^2=9 \times 9 \times 8=648 .
$$

**解法2**：如下图所示，符合条件的三位数可以分成三类：第 1 类，每一位数字都不是 0 的三位数，可以从 $1 \sim 9$ 这 9 个数字中取出 3 个，有 $A_9^3$ 种取法；第 2 类，个位上的数字是 0 的三位数，可以从剩下的 9 个数字中取出 2 个放在百位和十位，有 $A_9^2$ 种取法；第 3 类，十位上的数字是 0 的三位数，可以从剩下的 9 个数字中取出 2 个放在百位和个位，有 $A_9^2$ 种取法．

![图片](/uploads/2025-12/8338a6.jpg)
 
 根据分类加法计数原理，所求三位数的个数为
 
$$
 A_9^3+A_9^2+A_9^2=9 \times 8 \times 7+9 \times 8+9 \times 8=648
$$

**解法3**：从 $0 \sim 9$ 这 10 个数字中选取 3 个的排列数为 $A_{10}^3$ ，其中 0 在百位上的排列数为 $A_9^2$ ，它们的差就是用这 10 个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为

$$
A_{10}^3-A_9^2=10 \times 9 \times 8-9 \times 8=648 .
$$

对于上例这类计数问题，从不同的角度就有不同的解题方法．解法1根据百位数字不能是 0 的要求，按分步乘法计数原理完成从 10 个数中取出 3 个数组成没有重复数字的三位数这件事；解法 2 是以 0 是否出现以及出现的位置为标准，按分类加法计数原理完成这件事；解法 3 是一种间接法，先求出从 10 个数中取出 3 个数的排列数，然后减去其中百位是 0 的排列数（不是三位数的个数），就得到没有重复数字的三位数的个数．

从上述问题的解答过程可以看到，引入排列的概念，归纳出排列数公式，我们就能便捷地求解＂从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素的所有排列的个数＂这类特殊的计数问题．

## 组合
我们知道，从一组数里选出2个数，他们的乘积是相同的，也就是取出的数据与顺序无关，这种与顺序无关的取法叫做**组合**。

> **组合的定义**：一般地说, 从 $n$ 个不同的元素中, 任取 $m(m \leq n)$ 个元素并成一组, 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合. 通常用符号 $\mathrm{C}_n^m$ 或 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$ 表示

`例` 平面内有 $A, B, C, D$ 共 4 个点． 以其中 2 个点为端点的线段共有多少条？
分析： 确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题．
解：由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内 4 个点中的 2 个点为端点的线段的条数，共有如下 6 条：即
$$
A B, A C, A D, B C, B D, C D .
$$

## 组合定理 
从 $n$ 个不同元素中任取 $m$ 个 $(m \leq n)$ 没有重复元素组合数为

$$
\boxed{
\mathrm{C}_n^m= \frac{n!}{m!(n-m)!}
}
$$

证明: 由 $\mathrm{P}_n^m=\mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{P}_m^m$, 所以

$$
\mathrm{C}_n^m=\frac{\mathrm{P}_n^m}{\mathrm{P}_m^m}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}
$$

注意： $\mathrm{C}_n^m=

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