最后更新: 2025-08-31 11:01 查看: 145 次反馈同步训练

解三角不等式

## 定理
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上到处连续且对于任何一个 $x \in(a, b), f(x) \neq 0$,则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上保持相同符号.

证明：用反证法，假设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内的值有相异的符号，即存在 $x_1$ 和 $x_2$ 满足 $a<x_1<x_2<b$ 且使 $f\left(x_1\right) f\left(x_2\right)<0$, 于是根据连续函数中间值定理, 必存在一个介于 $x_1$ 和 $x_2$ 之间的常数 $c$, 使得 $f(c)=0$. 这和已知条件：对于任何一个 $x \in(a, b), f(x) \neq 0$ 矛盾, 因此, $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内保持相同符号.

我们举例说明如何应用这个定理解不等式.

## 解不等式 $\sin x>a$

`例`解不等式 $\sin x>a$
解: 移项，化为 $\sin x-a>0$
设 $f(x)=\sin x-a, f(x)$ 是周期等于 $2 \pi$ 的函数, 先讨论在长度等于一个周期的区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 内的 $f(x)$ 的符号:

（1） 若 $|a| \leq 1$, 求 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 内的零点. $\sin x=a$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 内的解是

$$
x_1=\arcsin a \text { 和 } x_2=\pi-\arcsin a
$$

把解的终边画在单位圆上, 如图 9.19 且由图 9.19 看出:
当 $\arcsin a<x<\pi-\arcsin a$ 时, $f(x)=\sin x-a>0$ 成立;
当 $-\frac{\pi}{2}<x<\arcsin a$ 或 $\pi-\arcsin a<x<\frac{3 \pi}{2}$ 时, $f(x)=\sin x-a<0$成立, 因此, 在 $|a| \leq 1$ 的场合, $\sin x>a$ 在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 内的解满足条件:

$$
\arcsin a<x<\pi-\arcsin a
$$

由于 $f(x)=\sin x-a$ 是周期等于 $2 \pi$ 的函数, 因此 $\sin x>a$ 的一切解满足条件:

$$
2 k \pi+\arcsin a<x<(2 k+1) \pi-\arcsin a, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/e49ea2.jpg)
 
（2） 若 $a>1$, 则对于任何 $x \in \mathbb{R}$, 有 $f(x)=\sin x-a<0$, 因此, 不等式 $\sin x>a$ 没有解.
（3） 若 $a<-1$, 则对于任何 $x \in \mathbb{R}$, 有 $f(x)=\sin x-a>0$, 因此, 不等式 $\sin x>a$ 的解集是实数集 $\mathbb{R}$.

总之：
① 当 $|a| \leq 1$ 时, 所求不等式的解集是

$$
\{x \mid 2 k \pi+\arcsin a<x<(2 k+1) \pi-\arcsin a\}
$$

② 当 $a>1$ 时, 所求不等式的解集是空集 $\emptyset$;
③ 当 $a<-1$ 时, 所求不等式的解集是实数集 $\mathbb{R}$.

##  解不等式 $\cos x<a$

`例` 解不等式 $\cos x<a$

解：移项，化为 $\cos x-a<0$
设 $f(x)=\cos x-a, f(x)$ 是周期等于 $2 \pi$ 的函数，先讨论在长度等于一个周期的区间 $[-\pi, \pi]$ 内的 $f(x)$ 的符号:
（1） 若 $|a| \leq 1, f(x)=\cos x-a$ 在 $[-\pi, \pi]$ 内的解是

$$
x_1=\arccos a \quad \text { 和 } x_2=-\arccos a
$$

把解的终边画在单位圆上, 如图 9.20 且由图 9.20 容易看出：
 ![图片](/uploads/2024-09/499e34.jpg)
 
 当 $\arccos a<x<\pi$ 或 $-\pi<x<-\arccos a$ 时, $f(x)=\cos x-a<0$成立, 而且仅在此时成立, 又因为 $f(x)=\cos x-a$ 的周期是 $2 \pi$, 所以, $\cos x<a$ 的一切解, 满足

$$
2 k \pi+\arccos a<x<(2 k+1) \pi  ...(9.6)
$$

或

$$
(2 k-1) \pi<x<2 k \pi-\arccos a ...(9.7)
$$

又 $(9.7)$ 也可以写成

$$
(2 k+1) \pi<x<(2 k+2) \pi-\arccos a  ...(9.8)
$$

再将 $(9.6),(9.8)$ 合并为

$$
2 k \pi+\arccos a<x<(2 k+2) \pi-\arccos a  ...(9.9)
$$

因此, 在 $|a| \leq 1$ 的场合, $\cos x<a$ 的一切解满足 (9.9).

(2) 若 $a>1$, 则对于任何 $x \in \mathbb{R}$, 有 $f(x)=\cos x-a<0$ 成立, 因此, 不等式 $\cos x<a$ 的解集是实数集 $\mathbb{R}$.

(3) 若 $a<-1$, 则对于任何 $x \in \mathbb{R}$, 有 $f(x)=\cos x-a>0$ 成立, 因此, 不等式 $\cos x<a$ 没有解.

总之，
①当 $|a| \leq 1$ 时, 所求不等式的解集是

$$
\{x \mid 2 k \pi+\arccos a<x<(2 k+2) \pi-\arccos a\}
$$

② 当 $a>1$ 时, 所求不等式的解集是实数集 $

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