最后更新: 2025-08-31 10:54 查看: 172 次反馈同步训练

常见简单三角方程类型

在本节中, 我们来研究某些三角方程的解法. 解这些方程时, 一般是应用三角函数的恒等变形和解代数方程的一般知识把它归结成解一个或几个最简单的三角方程，从而求出所有解。在解三角方程的过程中，应当避免作可能破坏方程同解性的变形，如果这类变形不可避免，则需研究哪些根会失掉，哪些根是增根，对最终方程的诸解，应当进行检验，确定它们是否是原方程的解.下面通过例子来阐明.

## 含有同角的同名三角函数的方程
`例`解方程 $2 \cos ^2 x+\cos x-1=0$
解：把方程看作关于未知数为 $\cos x$ 的二次方程，按照二次方程的解法，可得

$$
\cos x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4}=\frac{-1 \pm 3}{4}
$$
由此得: $\cos x=\frac{1}{2}$ 或 $\cos x=-1$.
由 $\cos x=\frac{1}{2}$, 得: $x=2 k \pi+\frac{\pi}{3}$; 由 $\cos x=-1$, 得: $x=(2 k+1) \pi$.
$\therefore \quad$ 原方程的解集是

$$
\left\{x \left\lvert\, x=2 k \pi \pm \frac{\pi}{3}\right.\right\} \cup\{x \mid x=(2 k+1) \pi\}
$$

`例`解方程 $2 \sin ^2 x+2 \sin x-\sqrt{3} \sin x=\sqrt{3}$
解: 解法 1: 把一切项都移至左端, 得: $2 \sin ^2 x+(2-\sqrt{3}) \sin x-\sqrt{3}=0$ 解关于 $\sin x$ 的二次方程, 得

$$
\begin{aligned}
\sin x & =\frac{-2+\sqrt{3} \pm \sqrt{(2-\sqrt{3})^2+8 \sqrt{3}}}{4} \\
& =\frac{-2+\sqrt{3} \pm \sqrt{4+4 \sqrt{3}+3}}{4} \\
& =\frac{-2+\sqrt{3} \pm \sqrt{(2+\sqrt{3})^2}}{4} \\
& =\frac{-2+\sqrt{3} \pm(2+\sqrt{3})}{4}
\end{aligned}
$$

由此得

$$
\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text { 或 } \quad \sin x=-1
$$

由 $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得: $x=k \cdot 180^{\circ}+(-1)^k \cdot 60^{\circ}$.
由 $\sin x=-1$ 得： $x=-90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}$ 。
$\therefore$ 原方程的解集是

$$
\left\{x \mid x=k \cdot 180^{\circ}+(-1)^k \cdot 60^{\circ}\right\} \cup\left\{x \mid x=-90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}\right\}
$$

这里 $k \in Z$.

解法 2：把一切项都移至左端得： $2 \sin ^2 x+2 \sin x-\sqrt{3} \sin x-\sqrt{3}=0$方程左端可以分解因式:

$$
\begin{array}{r}
2 \sin x(\sin x+1)-\sqrt{3}(\sin x+1)=0 \\
(\sin x+1)(2 \sin x-\sqrt{3})=0
\end{array}
$$

若两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式等于零，同时应当满足下列条件：对于使第一个因式为零的解，应当使方程的第二个因式有确定的值. 上面的方程可分为这样的两个方程:

$$
2 \sin x-\sqrt{3}=0 \text { 或 } \sin x+1=0
$$

分别由 $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\sin x=-1$, 得到:

$$
x=k \pi+(-1)^k \cdot \frac{\pi}{3} \quad \text { 和 } \quad x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi
$$

把 $x=k \pi+(-1)^k \cdot \frac{\pi}{3}$ 代人 $\sin x+1$ 中, 有确定值, 同样把 $x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi$代人 $2 \sin x-\sqrt{3}$ 中, 也有确定值, 所以原方程的解集是

$$
\left\{x \left\lvert\, x=k \pi+(-1)^k \cdot \frac{\pi}{3}\right.\right\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi\right.\right\}
$$

> 一般的情况下, 在三角方程中, 不只有一个三角函数, 我们可以利用同一个角的各三角函数值之间的关系式, 把方程中未知角的各三角函数都用某一个三角函数表示出来, 这样, 就把所解的三角方程先归结到多项式方程的问题.

`例`解方程 $\sin ^2 x+\cos x+1=0$
解: $\because \sin ^2 x=1-\cos ^2 x, \quad \therefore$ 原方程可化为:

$$
\begin{aligned}
\cos ^2 x-\cos x-2 & =0 \\
\cos x & =\frac{1 \pm 3}{2}
\end{aligned}
$$

由此得到

$$
\cos x=2 \text { 或 } \quad \cos x=-1
$$

$\because \quad \cos x=2>1, \quad \therefore \quad$ 方程无解.
由 $\cos x=-1$, 得: $x=(2 k+1) \pi$
$\therefore$ 原方程的解集是 $\{x \mid x=(2 k+1) \pi, k \in Z \}$.

`例`解方程 $\cos x-\sin x=0$
解: 如果用 $\cos x$ 表示 $\sin x$ 或用 $\sin x$ 表示 $\cos x$, 那么我们就得到根式方程,为了避免这点, 可以用 $\cos x$ 去除方程的两边, 得到

$$
1-\tan x=0
$$
因为原方程的解不含有 $\cos x=0$ 的解, 所以我们有根据这样做. 事实上, 由 $\cos x=0$, 得到 $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$, 代人 $\cos x-\sin x$ 中, 有

$$
\cos \left(\frac{\pi}{2}+k \pi\right)-\sin \left(\frac{\pi}{2}+k \pi\right)=0-(-1)^k \sin \frac{\pi}{2}=(-1)^{k+1} \neq 0
$$

不满足原方程.
因此, 用 $\cos x$ 去除原方程的两边, 得到和原方程同解的方程

$$
\tan x=1
$$

由此, $x=k \pi+\frac{\pi}{4}$.
所以原方程的解集是 $\left\{x \left\lvert\, x=k \pi+\frac{\pi}{4}\right., k \in Z \right\}$
注意：当解 $\cos x-\sin x=0$ 时，也可以把 $\cos x$ 提出括号之外，而不用 $\cos x$去除两端，原方程可写成下面的形式

$$
\cos x(1-\tan x)=0
$$

由此得到

$$
\cos x=0 \text { 或 } \tan x=1
$$

但是使 $\cos x=0$ 的解： $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ 却使因式 $1-\tan x$ 无意义，这就表示 $x=\frac{\pi}{2}+k \pi$ 是原方程的增根, 因此必须舍去, 同样我们得到原方程的同解方程 $\tan x=1$.

对于上例这种方程的解法还可以应用到下面更一般的类型上去.
左端是关于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的齐次多项式右端是零的方程，称为**齐次方程**，上例的方程是齐次方程的一个特例。

`例`解齐次方程 $2 \sin ^2 x-7 \sin x \cos x+6 \cos ^2 x=0$
解: 用 $\cos ^2 x$ 除原方程的两端, 得

$$
2 \tan ^2 x-7 \tan x+6=0
$$

由此得 $\tan x=2$ 或 $\tan x=1.5$
由 $\tan x=2$ 得

$$
x \approx k \cdot 180^{\circ}+63^{\circ} 26^{\prime}
$$

由 $\tan x=1.5$ 得

$$
x \approx k \cdot 180^{\circ}+56^{\circ} 19^{\prime}
$$

$\therefore \quad$ 原方程的解集是:

$$
\left\{x \mid x=k \cdot 180^{\circ}+63^{\circ} 26^{\prime}\right\} \cup\left\{x \mid x=k \cdot 180^{\circ}+56^{\circ} 19^{\prime}\right\}
$$

或者

$$
\{x \mid x=k \pi+\arctan 2\} \bigcup\left\{x \left\lvert\, x=k \pi+\arctan \frac{3}{2}\right.\right\}
$$

又这样的方程 $2 \sin ^2 x+5 \sin x \cos x+\cos ^2 x=4$ 也可以归人齐次方程, 因为原方程可写成

$$
2 \sin ^2 x+5 \sin x \cos x+\cos ^2 x-4\left(\cos ^2 x+\sin ^2 x\right)=0
$$

化简得

$$
2 \sin ^2 x-5 \sin x \cos x+3 \cos ^2 x=0
$$

`例` 解方程 $8 \sin ^2 \frac{x}{2}+3 \sin x-4=0$
解: 原方程可以变形为齐次方程

$$
8 \sin ^2 \frac{x}{2}+6 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-4\left(\sin ^2 \frac{x}{2}+\cos ^2 \frac{x}{2}\right)=0
$$

化简得: $2 \sin ^2 \frac{x}{2}+3 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}-2 \cos ^2 \frac{x}{2}=0$.
两边除以 $\cos ^2 \frac{x}{2}$, 得

$$
2 \tan ^2 \frac{x}{2}+3 \tan \frac{x}{2}-2=0
$$

所以 $\tan \frac{x}{2}=-2$ 或 $\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$.
由 $\tan \frac{x}{2}=-2$ 得:

$$
\begin{aligned}
& \frac{x}{2}=-\arctan 2+k \pi \\
& x=-2 \arctan 2+2 k \pi
\end{aligned}
$$

由 $\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}$ 得：

$$
\begin{aligned}
\frac{x}{2} & =\arctan \frac{1}{2}+k \pi \\
x & =2 \arctan \frac{1}{2}+2 k \pi
\end{aligned}
$$

因为原方程的解不含有 $\cos ^2 \frac{x}{2}=0$ 的解，所以，这样解不会丢根，由此知原方程的解是

$$
\{x \mid x=-2 \arctan 2+2 k \pi\} \cup\left\{x \left\lvert\, x=2 \arctan \frac{1}{2}+2 k \pi\right.\right\}
$$

## （二） 一边为零，另一边可以分解为因式的乘积的方程

`例`解方程 $1-\cos x=\tan x-\sin x$

解：原方程可变形为： $1-\cos x=\tan x(1-\cos x)$
如果方程的两边除以 $1-\cos x$ ，那么，原方程中就会丢掉 $1-\cos x=0$ 的根. 为了不致丢掉这些根，把因式 $1-\cos x$ 提出，方程就变形为：

$$
(1-\cos x)(1-\tan x)=0
$$

于是

$$
1-\cos x=0 \quad \text { 或 } 1-\tan x=0
$$

由 $\cos x=1$ 得到 $x=2 k \pi$, 由 $\tan x=1$ 得到 $x=\frac{\pi}{4}+k \pi$.
由于方程 $\cos x=1$ 的解使因式 $1-\tan x$ 有确定值，而方程 $\tan x=1$ 的解也使因式 $1-\cos x$ 有确定值，所以原方程的解集是

$$
\{x \mid x=2 k \pi\} \cup\left\{x \left\lvert\, x=\frac{\pi}{4}+k \pi\right.\right\}
$$

`例` 解方程 $\tan x+\tan 2 x-\tan 3 x=0$

解：原方程可写成 $\tan 3 x(1-\tan x \cdot \tan 2 x)-\tan 3 x=0$
化简得: $\tan x \cdot \tan 2 x \cdot \tan 3 x=0$, 由此得：

$$
\tan x=0 \text { 或 } \tan 2 x=0 \text { 或 } \tan 3 x=0
$$

由 $\tan x=0$ 得 $x=k \pi$; 由 $\tan 2 x=0$ 得 $x=\frac{k \pi}{2}$; 由 $\tan 3 x=0$ 得 $x=\frac{k \pi}{3}$把各方程的解标在单位圆上, 得到满足各方程的角的终边, 如图 9.18 所示.
$\because \quad \tan x=0$ 的解 $x=k \pi=3 k \cdot \frac{\pi}{3} \in\{x \mid \tan 3 x=0\}=\left\{x \left\lvert\, x=k \cdot \frac{\pi}{3}\right.\right\}$

![图片](/uploads/2024-10/96e265.jpg)
 
 又 $\tan 2 x=0$ 的解 $x=k \cdot \frac{\pi}{2}$ 中, 当 $k=2 n+1$ 时, 使 $\tan x$ 没有确定值,必须舍去；又当 $k=2 n$ 时，

$$
x=n \pi=3 n \cdot \frac{\pi}{3} \in\left\{x \left\lvert\, x=k \cdot \frac{\pi}{3}\right.\right\}=\{x \mid \tan 3 x=0\}
$$

因此, 所求方程的解集是 $\left\{x \left\lvert\, x=k \cdot \frac{\pi}{3}\right., \quad k \in Z \right\}$

`例`解方程 $\sin x+\tan x=\sec x-\cos x$
解：两边同乘以 $\cos x$ ，得到 $\sin x \cos x+\sin x=1-\cos ^2 x$ 移项，提取公因式得

$$
\sin x(\cos x+1-\sin x)=0
$$

由此得

$$
\sin x=0 \quad \text { 或 } \quad \cos x+1-\sin x=0
$$

由 $\sin x=0$, 得 $x=k \pi$.
由 $\sin x-\cos x=1$, 变形为 $\sin x-\sin \left(90^{\circ}-x\right)=1$, 即:

$$
2 \cos 45^{\circ} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1
$$

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