最后更新: 2025-08-31 08:29 查看: 303 次反馈同步训练

简单三角方程

## 简单三角方程
下列方程 $\sin x=a, \cos x=a, \tan x=a, \cot x=a$ 中的 $a$ 为已给的实数, $x$ 是未知数, 是最简单的三角方程. 适合其中某个方程的 $x$ 值叫做这个方程的解或根. 例如, 诸角: $x=30^{\circ} ; x=150^{\circ} ; x=390^{\circ} ; x=510^{\circ}$ 等等, 为三角方程 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的解, 因为,

$$
\sin 30^{\circ}=\sin 150^{\circ}=\sin 390^{\circ}=\sin 510^{\circ}=\frac{1}{2}
$$

解三角方程就是求它的一切解, 根据前一节内容知道, 已知三角函数值 $a$所对应的角的值, 如果存在的话, 有无穷多个, 所以每一个三角方程都有无穷多个解, 它的所有解简称为通解.

在本节中, 我们来解上面所示的最简单三角方程, 从以后的例子即将明白,解三角方程归根到底化为解最简单的三角方程.

一、最简单三角方程的解
## $\sin x=a$ 的解
分 $|a| \leq 1$ 和 $|a|>1$ 的情形来考虑:
**第一种情形**： $0<a<1$
在坐标系 $x-O-y$ 中, 以原点 $O$ 为圆心作一单位圆, 在 $O y$ 轴上作出纵坐标等于 $a$ 的 $Q$ 点, 并过 $Q$ 点引平行于 $O x$ 轴的直线, 交单位圆周于 $A$ 和 $B$二点, 如图 9.12, $P_0$ 为 $(1,0), \angle P_0 O A=\arcsin a$ 和 $\angle P_0 O B=\pi-\arcsin a$ 的正弦都等于 $a$, 所以 $\arcsin a$ 和 $\pi-\arcsin a$ 是方程 $\sin x=a$ 的特解, 为求方程 $\sin x=a$ 的通解, 可将 $2 k \pi$ 加于此两角中的每一个而得到, 其中 $k \in \mathbb{Z}$. 因此, 原方程的通解是

$$
\begin{aligned}
& x_1=2 k \pi+\arcsin a \\
& x_2=2 k \pi+\pi-\arcsin a=(2 k+1) \pi-\arcsin a
\end{aligned}
$$

合并起来, 可写成

$$
x=k \pi+(-1)^k \arcsin a, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

我们约定, 在三角方程的通解中, " $k \in \mathbb{Z}$ " 以后不再交代.
 ![图片](/uploads/2024-09/f76de1.jpg)
 **第二种情形**： $-1<a<0$
用同样的方法作图, 如图 9.13 所示: $\angle P_0 O A=\arcsin a$ 和 $\angle P_0 O B=$ $\pi-\arcsin a$ 是方程 $\sin x=a,-1<a<0$ 的特解, 因此, 原方程的通解仍是

$$
\begin{aligned}
& x_1=2 k \pi+\arcsin a \\
& x_2=2 k \pi+\pi-\arcsin a=(2 k+1) \pi-\arcsin a
\end{aligned}
$$

合并起来, 可写成

$$
x=k \pi+(-1)^k \arcsin a
$$

**第三种情形**： $a=1$
方程 $\sin x=1$ 的特解是 $x=\frac{\pi}{2}$, 因此, 原方程的通解是

$$
x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi \text { 或者 } x=90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}
$$

**第四种情形**： $a=-1$

$$
\sin x=-1
$$

特解: $x=-\frac{\pi}{2}\left(\right.$ 或 $\left.x=-90^{\circ}\right)$,
通解： $x=-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \quad\left(\right.$ 或 $\left.x=-90^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}\right)$.
**第五种情形：** $a=0$

$$
\sin x=0
$$

特解: $x_1=0$ 和 $x_2=\pi$.
通解: $x_1=2 k \pi$ 和 $x_2=\pi+2 k \pi=(2 k+1) \pi$, 合并成:

$$
x=k \pi
$$

**第六种情形：** $|a|>1$
在这种情形下, $\sin x=a$ 没有解.
总结如下：
 ![图片](/uploads/2024-10/ba2ec3.jpg)
 
 
`例` 解方程 $\sin x=\frac{1}{2}$
解:

$$
x=k \pi+(-1)^k \arcsin \frac{1}{2}=k \pi+(-1)^k \frac{\pi}{6}
$$

或者

$$
x=k \cdot 360^{\circ}+(-1)^k \cdot 30^{\circ}, \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

`例` 解方程 $\sin x=-\frac{1}{2}$
解：

$$
x=k \pi+(-1)^k \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=k \pi+(-1)^{k+1} \frac{\pi}{6}
$$

或者

$$
x=k \cdot 360^{\circ}+(-1)^{k+1} \cdot 30^{\circ}, \quad(k \in Z )
$$

`例` 解方程 $\sin (2 x-1)=\frac{\sqrt{3}}{2}$
解：

$$
\begin{aligned}
2 x-1 & =k \pi+(-1)^k \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \\
2 x & =k \pi+(-1)^k \cdot \frac{\pi}{3}+1 \\
x & =k \cdot \frac{\pi}{2}+(-1)^k \cdot \frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}, \quad(k \in Z )
\end{aligned}
$$

## $\cos x=a$ 的解
**第一种情形:** $0<a<1$ 在 $O x$ 轴上作出横坐标等于 $a$ 的 $P$ 点, 并过 $P$点作平行于 $O y$ 轴的直线交单位圆周于 $C$ 和 $D$ 二点, $P_0$ 为 $(1,0)$ (图 9.14). $\angle P_0 O C=\arccos a$ 和 $\ang

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