最后更新: 2025-08-31 08:26 查看: 322 次反馈同步训练

反余切函数

## 反余切函数

由余切函数 $y=\cot x$ 的图象可以看出函数 $\cot x$ 在每个开区间 $(k \pi , (k+1) \pi), k \in \mathbb{Z}$ 内, 由 $+\infty$ 递减到 $-\infty$, 所以在每个这样的开区间里, 反函数是存在的.

> 给定一个函数求他的反函数是很简单的，即只要把函数里的$x,y$ 互换，就可以得到他的反函数，例如 $y=tan x$ 的反函数就是 $x=tan y$ , 但是 **因为我们总是使用$x$作为自变量**，$y$作为因变量，所以反函数应该写成 $y=■ x$, 这里$■$ 是什么呢？为此我们引入新的函数名 $\arctan$ , 或许我们刚看到 $\arctan$ 感觉不适应，就像你刚学 $y= ln x$ 你也感觉不适应一样，用久了，就适应了。

> 对于更高级别的教程，函数$y=f(x)$ 的反函数一般写成 $y=f^{-1}(x)$ ，如果把他们看成2个完全独立的函数，根据定义，不难发现，他们的图像是关于$y=x$ 对称的。

### 定义
函数 $y=\cot x$ 在开区间 $(0, \pi)$ 内的反函数叫 反余切函数或反余切, 记作

$$
x=\arccot y
$$

它的定义域是开区间 $-\infty<y<+\infty$. 因为我们总是习惯用$x$表示自变量,$y$表示因变量，所以上面又可以写成 $y=\arccot x$

用几何名词来叙述反余切的定义便是：在开区间 $-\infty<y<+\infty$ 内，数 $y$的反余切 $x=\operatorname{arccot} y$ 是开区间 $0<x<\pi$ 内的一个角或弧, 它的余切等于 $y$,即 $\cot x=y$.

### 图像
我们可以把 $\arccot x$ 当做一个新的函数名来理解，他有自己的定义域、值域，有自己的单调性。下图显示了 $y=\arccot(x)$图像，

定义域：$x \in [-\infty,+\infty]$
值域： $y \in [0,\pi]$
单调性：单调递减

![图片](/uploads/2025-08/f3cfd3.jpg){width=400px}

> 注意：在计算机函数里并没有提供 $\arccot$ 函数,因为 $\arctan x+\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}$ 所以， $\operatorname{arccot} x=\frac{\pi}{2}-\arctan x$

### 性质
由反余切的定义和反函数定理得到反余切的性质如下:
1. $\operatorname{arccot}(\cot x)=x, 0<x<\pi, \quad \cot (\operatorname{arccot} y)=y,-\infty<y<+\infty$
2. 反余切是递减的函数并且连续;
3. $\operatorname{arccot}(-x)=\pi-\operatorname{arccot} x$.

这是因为 $\operatorname{arccot} x$ 和 $\operatorname{arccot}(-x)$ 都属于 $(0, \pi)$ 内的角, 且

$$
0=\pi-\pi<\pi-\operatorname{arccot} x<0+\pi=\pi
$$

又 $\cot (\pi-\operatorname{arccot} x)=-\cot (\operatorname{arccot} x)=-x$, 所以

$$
\pi-\operatorname{arccot} x=\operatorname{arccot}(-x)
$$
即

$$
\operatorname{arccot}(-x)=\pi-\operatorname{arccot} x
$$

4. 反余切 $y=\operatorname{arccot} x,-\infty<x<+\infty$ 的图象如图 9.11 所示.
 ![图片](/uploads/2024-09/1623e0.jpg)

`例`求下列各式的值：（口答）
1. $\operatorname{arccot} 1$
3. $\operatorname{arccot} \sqrt{3}$
2. $\operatorname{arccot}(-1)$
4. $\operatorname{arccot}(-\sqrt{3})$

解:
1. $\operatorname{arccot} 1=\frac{\pi}{4}$, 因为 $\cot \frac{\pi}{4}=1$, 而且 $0<\frac{\pi}{4}<\pi$.
2. $\operatorname{arccot}(-1)=\pi-\operatorname{arccot} 1=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4}$
3. $\operatorname{arccot} \sqrt{3}=\frac{\pi}{6}$, 因为 $\cot \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$, 而且 $0<\frac{\pi}{6}<\pi$.
4. $\operatorname{arccot}(-\sqrt{3})=\pi-\operatorname{arccot} \sqrt{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$

`例`求

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