最后更新: 2025-08-31 08:25 查看: 363 次反馈同步训练

反正切函数

## 反正切函数
由正切函数 $y=\tan x$ 的图象 (图 9.8) 可以看出, 函数 $\tan x$ 在每个开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right)$ 内, 由 $-\infty$ 上升到 $+\infty$. 所以在每个这样的开区间里能带来一个反函数.
 ![图片](/uploads/2024-09/72f311.jpg)

> 给定一个函数求他的反函数是很简单的，即只要把函数里的$x,y$ 互换，就可以得到他的反函数，例如 $y=tan x$ 的反函数就是 $x=tan y$ , 但是 **因为我们总是使用$x$作为自变量**，$y$作为因变量，所以反函数应该写成 $y=■ x$, 这里$■$ 是什么呢？为此我们引入新的函数名 $\arctan$ , 或许我们刚看到 $\arctan$ 感觉不适应，就像你刚学 $y= ln x$ 你也感觉不适应一样，用久了，就适应了。

> 对于更高级别的教程，函数$y=f(x)$ 的反函数一般写成 $y=f^{-1}(x)$ ，如果把他们看成2个完全独立的函数，根据定义，不难发现，他们的图像是关于$y=x$ 对称的。

### 定义
 函数 $y=\tan x$ 在开区间 $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ 内的反函数叫做反正切函数或反正切，记作
$$
x=\arctan y
$$

因为任何实数都可以作为正切的值，所以反正切定义域是开区间 $-\infty<$ $y<+\infty$

用几何名词来叙述反正切的定义就是：在开区间 $(-\infty,+\infty)$ 内，数 $y$ 的反正切 $x=\arctan y$ 是在开区间 $-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$ 内的一个角或弧，它的正切等于 $y$ ，即： $\tan x=y$ 。

### 图像
我们可以把 $\arctan x$ 当做一个新的函数名来理解，他有自己的定义域、值域，有自己的单调性。下图显示了 $y=\arctan(x)$图像，

定义域：$x \in [-\infty,+\infty]$
值域： $y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
单调性：单调递增
奇偶性：奇函数，即 $\arctan(-x)=-\arctan(x)$

![图片](/uploads/2025-08/cb3cec.jpg){width=400px}

### 性质
由定义和反函数定理直接得到反正切的性质如下:
1.
$$
 \begin{aligned}
\arctan (\tan x) & =x, & & -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \\
\tan (\arctan y) & =y, & & -\infty<x<+\infty
\end{aligned}
$$

2.$y=\arctan x, x \in \mathbb{R}$ 是单调递增的并且连续;
3.$\arctan x$ 是奇函数, 即

$$
\arctan (-x)=-\arctan x
$$

证明略。

4.反正切函数 $y=\arctan x,-\infty<x<+\infty$ 的图象如图 5.9 所示.
 ![图片](/uploads/2024-09/d56fd7.jpg)

`例`求下列各式的值（口答）：
1. $\arctan 1$
3. $\arctan \sqrt{3}$
2. $\arctan (-1)$
4. $\arctan (-\sqrt{3})$

解：
1. $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$, 因为 $\tan \frac{\pi}{4}=1$, 而且 $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$
2. $\arctan (-1)=-\frac{\pi}{4}$, 因为 $\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1$, 而且 $-\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$
3. $\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$, 因为 $\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, 而且 $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}$
4. $\arctan (-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$, 因为 $\tan \left(-\frac{\pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$, 而且 $-\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{2}$

`例`求 $\cos \left[\arctan \left(-\frac{3}{4}\right)\right]$
 
解: 设 $\alpha=\arctan \left(-\frac{3}{4}\right)$, 其中 $-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$, 则 $\tan \alpha=-\frac{3}{4}$.由于 $-\frac{\pi}{2}<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 和 $\tan \alpha<0$, 可以知道 $\alpha$ 是第四象限的角. 所以

$$
\begin{aligned}
& \sec \alpha=\sqrt{1+\tan ^2 \alpha}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4} \\
& \cos \alpha=\frac{4}{5}
\end{aligned}
$$

就是

$$
\cos \left[\arctan \left(-\frac{3}{4}\right)\right]=\cos \alpha=\frac{4}{5}
$$

## 正切函数在其它区间内的反函数
关于 $y=\tan x$ 在其它单调区间内的反函数, 请看下面命题.
在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right), k \in \mathbb{Z}$ 内 $y=\tan x$ 由 $-\infty$ 上升到 $+\infty$,在这些区间上的反函数是 $x=\arctan y+k \pi$.

事实上, $x \in\left(-\frac{\pi}{2}+k \pi, \frac{\pi}{2}+k \pi\right)$ 而且

$$
\tan x=\tan (\arctan y+k \pi)=\tan (\arctan y)=y
$$

`例`求 $\arcta

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