最后更新: 2025-08-31 08:01 查看: 331 次反馈同步训练

反余弦函数

## 反余弦函数
由余弦函数 $y=\cos x$ 的图象 (图 9.5) 看出, 函数 $y=\cos x$ 在闭区间 $[2 k \pi,(2 k+1) \pi]$ 上, 由 1 下降到 -1 , 而在闭区间 $[(2 k-1) \pi, 2 k \pi]$ 上, 由 -1 上升到 1 ; 因此, 对于上述每一个单调区间, 函数 $y=\cos x$ 都带来一个反函数.我们选取$[0, \pi]$ 作为 $y=\cos x$的默认区间。
 ![图片](/uploads/2024-09/798da4.jpg)

> 给定一个函数求他的反函数是很简单的，即只要把函数里的$x,y$ 互换，就可以得到他的反函数，例如 $y=cos x$ 的反函数就是 $x=cos y$ , 但是 **因为我们总是使用$x$作为自变量**，$y$作为因变量，所以反函数应该写成 $y=■ x$, 这里$■$ 是什么呢？为此我们引入新的函数名 $\arccos$ , 或许我们刚看到 $\arccos$ 感觉不适应，就像你刚学 $y= ln x$ 你也感觉不适应一样，用久了，就适应了。

> 对于更高级别的教程，函数$y=f(x)$ 的反函数一般写成 $y=f^{-1}(x)$ ，如果把他们看成2个完全独立的函数，根据定义，不难发现，他们的图像是关于$y=x$ 对称的。

> 函数的定义为$x$每取一个值，$y$有**唯一**的值和他对应，如果直接使用 $y=\arccos x$ 当做 $y=cos$ 的反函数，则会出现，每给一个$x$值有无数多个$y$和他对应, 因此，我们需要更改反余弦函数的定域。具体的说，把定义域限制在  $x \in\left[0,\pi\right]$ 内, 限制函数定义域其实一直存在，只是我们没有在意，比如 $y=\frac{1}{x}$ 他的定义域就是整个实数去掉了0这个点， 再如 $y=\sqrt{x}$ 他的定义域是分负数，这都是限制定义域的例子

> 余弦函数是给定一个角度（用弧度表示）求余弦值，反余弦函数就是给定余弦值求角度（用弧度表示）。 例如 $ cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$ ，那么  $arccos(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{3}$

### 定义
函数 $y=\cos x$ 在闭区间 $[0, \pi]$ 上的反函数叫做反余弦函数或反余弦, 记作

$$
x=\arccos y
$$
用几何名词来叙述这个定义，便是（互换字母 $x 、 y$ 的位置）：在闭区间 $-1 \leq x \leq 1$ 上, 数 $x$ 的反余弦 $y=\arccos x$ 是在闭区间 $[0, \pi]$ 的一个角或弧,它的余弦值等于 $x$, 即 $\cos y=x$.

### 图像
我们可以把 $\arccos x$ 当做一个新的函数名来理解，他有自己的定义域、值域，有自己的单调性。下图显示了 $y=\arccos(x)$图像，

定义域：$x \in [-1,1]$
值域： $y \in [0,\pi]$
单调性：单调递减

![图片](/uploads/2025-08/4a42d6.jpg)

从上图可以看到，当$x=0$时，$y=\frac{\pi}{2}$ ,即

$$
\boxed{
\arccos(0)=\frac{\pi}{2}
}
$$

`例`求下列各式的值 (口答):
1. $\arccos \frac{1}{2}$
3. $\arccos 1$
2. $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$
4. $\arccos 0$

解:
1. $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$, 因为 $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, 而且 $0<\frac{\pi}{3}<\pi$.
2. $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2 \pi}{3}$, 因为 $\cos \frac{2 \pi}{3}=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$, 而且 $0<\frac{2 \pi}{3}<\pi$.
3. $\arccos 1=0$, 因为 $\cos 0=1$ 而且 0 不出 $[0, \pi]$ 的界限.
4. $\arccos 0=\frac{\pi}{2}$, 因为 $\cos \frac{\pi}{2}=1$, 而且 $0<\frac{\pi}{2}<\pi$.

### 性质
由反余弦函数的定义和反函数的定理得到反余弦的性质如下:
1. $\arccos (\cos y)=y, 0 \leq y \leq \pi, \quad \cos (\arccos x)=x,-1 \leq x \leq 1$
2. 函数 $f(x)=\arccos x$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上, 由 $\pi$ 下降到 0 , 且连续.
3. 我们知道互补的两个角 $\alpha$ 和 $\pi-\alpha$ 的余弦是相反数, 即

$$
\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha
$$

反之, 在区间 $[-1,1]$ 内的相反数的反余弦互为补角, 即

$$
\arccos (-x)=\pi-\arccos x, \quad x \in[-1,1]
$$

4. 反余弦函数 $y=\arccos x$ 的图象如图 9.6 所示.

![图片](/uploads/2024-09/d90b34.jpg)
 证明: 因为 $0 \leq \arccos (-x) \leq \pi$, 又 $0 \leq \pi-\arccos x \leq x$ 而且

$$
\cos (\pi-\arccos x)=-\cos (\arccos x)=-x
$$

由余弦函数在 $[0, \pi]$ 上是单调的, 得到

$$
\pi-\arccos x=\arccos (-x)
$$

`例`求下列各式的值： $\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), \quad \arccos (-0.9695)$
解：

$$
\begin{aligned}
\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) & =\pi-\arccos \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3 \pi}{4} \\
\arccos (-0.9695) & =180^{\circ}-\arccos 0.9695 \\
& =180^{\circ}-14^{\circ} 11^{\prime}=165^{\circ} 49^{\prime} \approx 165.82^{\circ} \\
& \approx 0.9212 \pi \approx 2.894 \text { 弧度 }
\end{aligned}
$$

`例`求 $\tan \left[\arccos \left(-\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)\right]$ 的值.
解: 设 $\arc

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【数学分析】反函数存在定理

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