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反正弦函数

##  反正弦函数
我们知道, 正弦函数 $y=\sin x$ 是一个周期等于 $2 \pi$ 的振动函数, 它的定义域是 $(-\infty,+\infty)$, 而值域是闭区间 $[-1,1]$, 它的图象如图 9.1.
 ![图片](/uploads/2024-09/a1ff98.jpg)
 每取一数 $y=c,(-1 \leq c \leq 1)$, 作直线 $y=c$, 可与正弦曲线 $y=\sin x$ 交于无穷多个点, 这些交点的横坐标是

$$
x=x_0+2 k \pi \quad \text { 和 } \quad x=\left(\pi-x_0\right)+2 k \pi \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

**因此有无数多个** $x$ 的值满足方程 $\sin x=c$来和那个 $y=c$ 对应. 可见对于变数 $x$ 的一切可能实数值来说, 我们不能由函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\sin x$ 得出它的反函数来.

> 给定一个函数求他的反函数是很简单的，即只要把函数里的$x,y$ 互换，就可以得到他的反函数，例如 $y=sin x$ 的反函数就是 $x=sin y$ , 但是 **因为我们总是使用$x$作为自变量**，$y$作为因变量，所以反函数应该写成 $y=■ x$, 这里$■$ 是什么呢？为此我们引入新的函数名 $\arcsin$ , 或许我们刚看到 $\arcsin$ 感觉不适应，就像你刚学 $y= ln x$ 你也感觉不适应一样，用久了，就适应了。

> 对于更高级别的教程，函数$y=f(x)$ 的反函数一般写成 $y=f^{-1}(x)$ ，如果把他们看成2个完全独立的函数，不难发现，他们的图像是关于$y=x$ 对称的。

> 函数的定义为$x$每取一个值，$y$有**唯一**的值和他对应，如果直接使用 $y=\arcsin x$ 当做 $y=sinx$ 的反函数，则会出现，每给一个$x$值有无数多个$y$和他对应, 因此，我们需要更改反正弦函数的定域。具体的说，把定义域限制在  $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内, 限制函数定义域其实一直存在，只是我们没有在意，比如 $y=\frac{1}{x}$ 他的定义域就是整个实数去掉了0这个点， 再如 $y=\sqrt{x}$ 他的定义域是分负数，这都是限制定义域的例子

> 正弦函数是给定一个角度（用弧度表示）求正弦值，反正弦函数就是给定正弦值求角度（用弧度表示）。 例如 $ sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ ，那么  $arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$

$y=sin x$把定义域分成无数个单调区间, 则在各区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right]$上, $y=\sin x$ 由 -1 上升到 1 , 而在各区间 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right]$ 上, $y=\sin x$由 1 下降到 -1 , 于是由前一章中的反函数定理知道, 对于上述每一个单调区间存在一个反函数.

我们约定在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上来考虑正弦函数的反函数, 我们就说它是反正弦函数的主值, 并把这个函数记作 $x=\arcsin y$, 使得

$$
x=\arcsin y \quad \Longleftrightarrow \quad y=\sin x
$$

这里 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \quad y \in[-1,+1]$.
对于使得 $y=\sin x$ 是单调的另一区间, 例如 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$, 我们就得到另一个反正弦函数. 假如我们没有明确地指出反正弦函数的值域所在的区间, 我们就不能由函数 $y=\sin x$ 得出它的反函数. 为了明确起见, 现在我们规定

### 定义
**函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数叫做反正弦函数或反正弦,这个函数用记号写作 $x=\arcsin y$ (即 $x$ 是一角或弧, 其相应的正弦值为 $y$ ), 它的定义域是闭区间 $-1 \leq y \leq 1$, 值域是闭区间 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.**

用习惯上的写法, 将字母 $x$ 与 $y$ 互换而写成 $y=\arcsin x$, 现在, 我们将反正弦函数（主值）的定义用几何名词叙述如下：

在闭区间 $-1 \leq x \leq 1$ 上,数 $x$ 的反正弦 $y=\arcsin x$ 是在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$上的一个角或弧, 它的正弦值等于 $x$, 即 $\sin y=x$.

### 图像
我们可以把 $\arcsin x$ 当做一个新的函数名来理解，他有自己的定义域、值域，有自己的单调性和奇偶性。下图显示了 $y=\arcsin(x)$图像，

定义域：$x \in [-1,1]$
值域： $y \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
单调性：单调递增
奇偶性：奇函数，即 $\arcsin(-x)=-\arcsin(x)$

![图片](/uploads/2025-08/0e86e0.jpg)

由反正弦函数的定义和前一章的反函数定理可得到它的一些性质如下:
- $\arcsin (\sin y)=y, \quad-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
$\sin (\arcsin x)=x, \quad-1 \leq x \leq 1$
- 函数 $f(x)=\arcsin x$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上单调递增, 并且连续.
- $y=\arcsin x,-1 \leq x \leq 1$ 的图象与 $y=\sin x,-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ 的图象关于直线 $y=x$ 对称 (下图).

我们已知正弦函数是奇函数, 它的图象关于原点对称, 现在我们要证明 $f(x)=\arcsin x$ 是奇函数, 即 $\arcsin (-x)=-\arcsin x$.
证明: 因为 $-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin x \leq \frac{\pi}{2}$, 角 $-\arcsin x$ 也被限制在由 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的区间内:

$$
-\frac{\pi}{2} \leq-\arcsin x \leq \frac{\pi}{2}
$$

又, 角 $-\arcsin x$ 的正弦等于 $-x$

$$
\sin (-\arcsin x)=-\sin (\arcsin x)=-x
$$

因此: $\arcsin (-x)=-\arcsin x$.

![图片](/uploads/2024-09/7572b3.jpg)

`例`求下列各式的值（口答）:
1. $\arcsin \frac{1}{2}$
2. $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)$
3. $\arcsin 1$

解：
1. $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$, 因为 $\sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$, 且 $-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}$
2. $\arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}$, 因为 $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}$, 且 $-\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}$
3. $\arcsin 1=\frac{\pi}{2}$, 因为 $\sin \frac{\pi}{2}=1$, 而且 $\frac{\pi}{2}$ 不超出 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 的界限.

`例`求下列各式的值:

$$
\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right), \quad \arcsin (-0.2672)
$$

解：
1. $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi}{3}$
2. $\arcsin (-0.2672)=-\arcsin 0.2672=-15^{\circ} 30^{\prime} \approx-0.2705$

`例`求下列各式的值：
(1) $\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)$
(2) $\tan \left(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

(3) $\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$
(4) $\sin \left[2 \arcsin \left(-\frac{3}{5}\right)\right]$
(5) $\arcsin \left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right)$

解：
(1) $\sin \left(\arcsin \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$
(2) $\tan \left(\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\tan \frac{\pi}{4}=1$

(3)设 $\arcsin \frac{3}{5}=\alpha$, 其中 $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, 那么 $\sin \alpha=\frac{3}{5}$. 由于 $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, $\sin \alpha>0$, 可以知道, $\alpha$ 是第一象限的角, 所以

$$
\cos \left(\arcsin \frac{3}{5}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}
$$

(4) 设 $\arcsin \left(-\frac{3}{5}\right)=\alpha$, 其中 $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, 那么

$$
\sin \alpha=\sin \left[\arcsin \left(-\frac{3}{5}\right)\right]=-\frac{3}{5}
$$

由于 $-\frac{\pi}{2} \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2}$ 和 $\sin \alpha<0$, 可以知道 $\alpha$ 是第四象限的角, 所以

$$
\cos \alpha=\sqrt{1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}
$$

即: $\sin \left[2 \arcsin \left(-\frac{3}{5}\right)\right]=\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha=2\left(-\frac{3}{5}\right) \cdot\left(\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$

(5)
$$
\begin{aligned}
\arcsin \left(\sin \frac{7 \pi}{6}\right) & =\arcsin \left[\sin \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)\right] \\
& =\arcsin \left(-\sin \frac{\pi}{6}\right) \\
& =-\arcsin \left(\sin \frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\pi}{6}
\end{aligned}
$$

##  正弦函数在其它区间的反函数

对于函数的定义最主要是单射，即给出一个$x$有一个$y$可以和其对应，因此 $y=sinx$ 任意一个单调区间都可以有反函数。如果给出其它区间，可以在 基础区间（主值） 上进行求值，即

**关于 $y=\sin x$, 只要知道了它在闭区间 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ 上的反函数 $x=$ $\arcsin y$, 我们便能求出 $y=\sin x$ 在其它单调区间上的反函数.**

#### 命题1 
$y=\sin x$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right]$ 上, 由 -1 上升到 1 , 它们相应的反函数是

$$
x=\arcsin y+2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

因为

$$
\sin x=\sin (\arcsin y+2 k \pi)=\sin (\arcsin y)=y
$$

而且

$$
-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \arcsin y+2 k \pi \leq \frac{\pi}{2}+2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

#### 命题2 
$y=\sin x$ 在闭区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上, 由 1 下降到 -1 , 它的反函数是

$$
x=\pi-\arcsin y
$$

因为

$$
\sin x=\sin (\pi-\arcsin y)=\sin (\arcsin y)=y
$$

而且

$$
\frac{\pi}{2}=\pi-\frac{\pi}{2} \leq \pi-\arcsin y \leq \pi+\frac{\pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}
$$

我们也可以在单位圆上作图来说明 2 , 如图 9.3 所示.

#### 命题3
$y=\sin x$ 在闭区间 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right]$ 上, 由 1 下降到 -1 , 相仿地证得它在相应区间上的反函数是

$$
x=(\pi-\arcsin y)+2 k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

![图片](/uploads/2024-10/4d9361.jpg)

`例`讨论函数 $y=\arcsin (\sin x)$ 的图象.
解: 由于正弦的周期性, 函数 $\arcsin (\sin x), x \in R$ 也以 $2 \pi$ 为周期, 因此, 只研究它在长度为 $2 \pi$ 的区间内情形即可. 由于

$$
\sin y=\sin [\arcsin (\sin x)]=\sin x
$$

这里 $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$, 而 $x \in R$, 故
- 当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, 则 $y=x$.

- 当 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 时, 则由上面的命题 2 知

$$
x=\pi-y \quad \Rightarrow \quad y=\pi-x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)
$$

因之，在此区间内函数的图象与直线 $y=\pi-x$ 一致，总之，由上面的命题中的 1 和 3 的结果：
1. 当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right]$ 时, 则 $x=y+2 k \pi$, 则 $y=x-2 k \pi$ ；
2. 当 $x \in\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right]$ 时, 则 $x=\pi-y+2 k \pi$, 则 $y=(\pi-x)-2 k \pi$.由上面讨论的结果, 得到函数 $y=\arcsin (\sin x)$ 的图象是折线的形状, 如图 9.4所示.

![图片](/uploads/2024-10/d1689d.jpg)

### 注意
$$
\boxed{\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}
}
$$ 
可以当做公式使用，可以根据定义推导，具体证明略。

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【数学分析】反函数存在定理

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