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反正弦函数

##  反正弦函数
我们知道, 正弦函数 $y=\sin x$ 是一个周期等于 $2 \pi$ 的振动函数, 它的定义域是 $(-\infty,+\infty)$, 而值域是闭区间 $[-1,1]$, 它的图象如图 9.1.
 ![图片](/uploads/2024-09/a1ff98.jpg)
 每取一数 $y=c,(-1 \leq c \leq 1)$, 作直线 $y=c$, 可与正弦曲线 $y=\sin x$ 交于无穷多个点, 这些交点的横坐标是

$$
x=x_0+2 k \pi \quad \text { 和 } \quad x=\left(\pi-x_0\right)+2 k \pi \quad(k \in \mathbb{Z})
$$

**因此有无数多个** $x$ 的值满足方程 $\sin x=c$来和那个 $y=c$ 对应. 可见对于变数 $x$ 的一切可能实数值来说, 我们不能由函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow[-1,1], f(x)=\sin x$ 得出它的反函数来.

> 给定一个函数求他的反函数是很简单的，即只要把函数里的$x,y$ 互换，就可以得到他的反函数，例如 $y=sin x$ 的反函数就是 $x=sin y$ , 但是 **因为我们总是使用$x$作为自变量**，$y$作为因变量，所以反函数应该写成 $y=■ x$, 这里$■$ 是什么呢？为此我们引入新的函数名 $\arcsin$ , 或许我们刚看到 $\arcsin$ 感觉不适应，就像你刚学 $y= ln x$ 你也感觉不适应一样，用久了，就适应了。

> 对于更高级别的教程，函数$y=f(x)$ 的反函数一般写成 $y=f^{-1}(x)$ ，如果把他们看成2个完全独立的函数，不难发现，他们的图像是关于$y=x$ 对称的。

> 函数的定义为$x$每取一个值，$y$有**唯一**的值和他对应，如果直接使用 $y=\arcsin x$ 当做 $y=sinx$ 的反函数，则会出现，每给一个$x$值有无数多个$y$和他对应, 因此，我们需要更改反正弦函数的定域。具体的说，把定义域限制在  $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内, 限制函数定义域其实一直存在，只是我们没有在意，比如 $y=\frac{1}{x}$ 他的定义域就是整个实数去掉了0这个点， 再如 $y=\sqrt{x}$ 他的定义域是分负数，这都是限制定义域的例子

> 正弦函数是给定一个角度（用弧度表示）求正弦值，反正弦函数就是给定正弦值求角度（用弧度表示）。 例如 $ sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$ ，那么  $arcsin(\frac{1}{2})=\frac{\pi}{6}$

$y=sin x$把定义域分成无数个单调区间, 则在各区间 $\left[-\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{\pi}{2}+2 k \pi\right]$上, $y=\sin x$ 由 -1 上升到 1 , 而在各区间 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right]$ 上, $y=\sin x$由 1 下降到 -1 , 于是由前一章中的反函数定理知道, 对于上述每一个单调区间存在一个反函数.

我们约定在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上来考虑正弦函数的反函数, 我们就说它是反正弦函数的主值, 并把这个函数记作 $x=\arcsin y$, 使得

$$
x=\arcsin y \quad \Longleftrightarrow \quad y=\sin x
$$

这里 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \quad y \in[-1,+1]$.
对于使得 $y=\sin x$ 是单调的另一区间, 例如 $x \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$, 我们就得到另一个反正弦函数. 假如我们没有明确地指出反正弦函数的值域所在的区间, 我们就不能由函数 $y=\sin x$ 得出它的反函数. 为了明确起见, 现在我们规定

### 定义
**函数 $y=\sin x$ 在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的反函数叫做反正弦函数或反正弦,这个函数用记号写作 $x=\arcsin y$ (即 $x$ 是一角或弧, 其相应的正弦值为 $y$ ), 它的定义域是闭区间 $-1 \leq y \leq 1$, 值域是闭区间 $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$.**

用习惯上的写法, 将字母 $x$ 与 $y$ 互换而写成 $y=\arcsin x$, 现在, 我们将反正弦函数（主值）的定义用几何名词叙述如下：

在闭区间 $-1 \leq x \leq 1$ 上,数 $x$ 的反正弦 $y=\arcsin x$ 是在闭区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$上的一

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【数学分析】反函数存在定理

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