最后更新: 2024-09-20 06:24 查看: 111 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

三点共圆与圆内接三角形

我们已知，如果知道了圆心的位置和半径长，那么圆的位置和大小也就确定了．现在我们来研究经过一个点；经过两个点；经过三个点可分别作出几个圆

已知一个点 A, 很明显，以 A 点以外的任何点为圆心，以这点到 A 点的距离为半径所作的圆都经过 A 点（图 4.5）．因此，经过一点可以作无数个圆．
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 经过两个已知点 $A 、 B$, 可以作多少个圆呢 (图 4.6)? 由于经过 $A 、 B$ 两点的圆的圆心到 $A$ 点与 $B$ 点的距离应相等, 而和 $A 、 B$ 两点距离相等的点仅在 $A B$ 的垂直平分线上, 所以, 以 $A B$ 的垂直平分线上任一点为圆心, 以这点到 $A$ 点（或 $B$ 点）的距离为半径所作的圆都经过 $A 、 B$ 两点. 因此, 经过两点也可以作无数个圆, 且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上.

现在我们来研究, 经过 $A 、 B 、 C$ 三点可以作多少个圆的问题?
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我们知道, 经过 $A 、 B$ 两点的圆的圆心必定在 $\overline{A B}$ 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 $\ell_1$ ), 经过 $B 、 C$ 两点的圆的圆心又必定在 $\overline{B C}$ 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 $\ell_2$ ), 因而经过 $A 、 B 、 C$ 三点的圆的圆心必定是直线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的交点 $O$, 由于 $\overline{O A}=\overline{O B}=\overline{O C}$, 所以以 $O$ 为圆心 $\overline{O A}$ 为半径的圆经过 $A 、 B 、 C$ 三点.

这样一来, 能不能说经过三个点就可作一个圆呢? 我们再来看图 4.8 中所示的三点 $A 、 B 、 C$, 它们是在同一条直线上的, 这时 $\overline{A B}$ 和 $\overline{B C}$ 的垂直平分线

$\ell_1$ 和 $\ell_2$ 都垂直于同一条直线, 于是 $\ell_1 / / \ell_2, \ell_1$ 和 $\ell_2$ 便没有交点, 这就说明了经过 $A 、 B 、 C$ 三点的圆的圆心根本不存在, 所以也就没有圆都经过 $A 、 B 、 C$三点. 因此, 我们不能笼统地说经过三个点可作一个圆. 如果 $A 、 B 、 C$ 三点在同一条直线上 (叫做共线的点), 便没有圆经过这三点; 如果 $A 、 B 、 C$ 三点不在同一条直线上 (叫做不共线的点), 那么 $\overline{A B}$ 与 $\overline{B C}$ 的垂直平分线必相交 (为什么?), 这时, 就可作一个圆经过这三点, 又由于 $\overline{A B}$ 和 $\overline{B C}$ 的垂直平分线都只有一条, 所以它们的交点也是唯一的, 从而 $\overline{O A}$ 的长也是唯一的, 所以经过 $A 、 B 、 C$ 三点也只能作一个圆.

于是, 我们便得到确切的结论:

### 定理1
过不共线的三个点，可以作一个圆且只可以作一个圆．

由上述讨论，我们还可看到一个圆的圆心到圆的任一条弦的两个端点的距
离相等，因而可得：

### 推论1
圆的任一条弦的垂直平分线都通过圆心．

由于任一个 $\triangle A B C$ 的三个顶点不共线, 因此经过 $A 、 B 、 C$ 三个顶点可以作一个圆, 且只可以作一个圆 $\odot O$ (图 4.9), 这个圆叫做 $\triangle A B C$ 的外接圆, 它的圆心 $O$ 叫做 $\triangle A B C$ 的外心, 而 $\triangle A B C$ 叫做 $O$ 的内接三角形. 由于 $\overline{O A}=\overline{O B}=\overline{O C}, O$ 点一定在三边的垂直平分线上, 于是又可得:
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 ### 推论 2
三角形的三边的垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心．
由推论 2 我们又可得到：
### 推论 3
三角形的三条高线相交于一点．

已知：AD、BE、CF 是 △ABC 的三条高线（图 4.10）．求证：AD、BE、CF 相交于一点
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 证明: 经过 $\triangle A B C$ 的各顶点 $A 、 B 、 C$ 分别作对边的平行线, 设它们分别相交于 $B^{\prime} 、 C^{\prime} 、 A^{\prime}$ 各点, 于是 $A D \perp B^{\prime} C^{\prime}, B E \perp C^{\prime} A^{\prime}, C F \perp A^{\prime} B^{\prime}$ (为什么?), 又因为四边形 $B C A C^{\prime}$ 和 $B C B^{\prime} A$ 都是平行四边形 (为什么?).
$\therefore \overline{C A}=\overline{B C}=\overline{A B^{\prime}}$, 于是 $A$ 是 $\overline{B^{\prime} C^{\prime}}$ 的中点.
同理, $B$ 是 $\overline{A^{\prime} C^{\prime}}$ 的中点, $C$ 是 $\overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ 的中点, 因此, $A D 、 B E 、 C F$ 分别是 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的三边上的垂直平分线, 由推论 2 可知 $A D 、 B E$ 和 $C F$ 相交于一点.

图 4.10 中, 画出的是锐角三角形, 如 $\triangle A B C$ 是针角三角形, 上述证明过程同样适用, 同学可自己验证.

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心.
`例`求作一条已知弧的圆心.
已知 $\overparen{E F}$ (图 4.11).
求作: $\overparen{E F}$ 所在圆的圆心.
作法
1. 在 $\widehat{E F}$ 上任取三点 $A 、 B 、 C$, 并且作 $\overline{A B} 、 \overline{B C}$.
2. 分别作 $\overline{A B} 、 \overline{B C}$ 的垂直平分线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$, 设它们的交点为 $O, O$ 点就是所求作的圆心.
证明: $\because A 、 B 、 C$ 三点在 $\widehat{E F}$ 上（作法）
$\therefore \widehat{E F}$ 是经过 $A 、 B 、 C$ 的圆的一部分.
又 $\because O$ 是经过 $A 、 B 、 C$ 的圆的圆心，
$\therefore O$ 是 $\overparen{E F}$ 所在圆的圆心.
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 `例` 已知 $O$ 和 $H$ 各是 $\triangle A B C$ 的外心和垂心, $O L \perp \overline{B C}$ 于 $L$ (图 4.12). 求证： $\overline{O L}=\frac{1}{2} \overline{A H}$

证明: 已知 $O L \perp \overline{B C}$ 于 $L$ 点, 作 $O M \perp \overline{A B}$ 于 $M$ 点, 由于 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的外心, 所以 $L 、 M$ 分别是 $\overline{B C} 、 \overline{A B}$ 的中点. 取 $\overline{B H}$ 的中点 $K$, 作 $\overline{M K}, \overline{L K}$,

$$
\begin{aligned}
& \because \quad M K / / A H, \quad O L / / A H, \\
& \therefore \quad M K / / O L,
\end{aligned}
$$

同理可证, $L K / / O M$,
$\therefore O M K L$ 是平行四边形,
$\therefore \quad \overline{O L}=\overline{M K}=\frac{1}{2} \overline{A H}$

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