我们已知,如果知道了圆心的位置和半径长,那么圆的位置和大小也就确定了.现在我们来研究经过一个点;经过两个点;经过三个点可分别作出几个圆
已知一个点 A, 很明显,以 A 点以外的任何点为圆心,以这点到 A 点的距离为半径所作的圆都经过 A 点(图 4.5).因此,经过一点可以作无数个圆.
经过两个已知点 , 可以作多少个圆呢 (图 4.6)? 由于经过 两点的圆的圆心到 点与 点的距离应相等, 而和 两点距离相等的点仅在 的垂直平分线上, 所以, 以 的垂直平分线上任一点为圆心, 以这点到 点(或 点)的距离为半径所作的圆都经过 两点. 因此, 经过两点也可以作无数个圆, 且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上.
现在我们来研究, 经过 三点可以作多少个圆的问题?
我们知道, 经过 两点的圆的圆心必定在 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 ), 经过 两点的圆的圆心又必定在 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 ), 因而经过 三点的圆的圆心必定是直线 和 的交点 , 由于 , 所以以 为圆心 为半径的圆经过 三点.
这样一来, 能不能说经过三个点就可作一个圆呢? 我们再来看图 4.8 中所示的三点 , 它们是在同一条直线上的, 这时 和 的垂直平分线
和 都垂直于同一条直线, 于是 和 便没有交点, 这就说明了经过 三点的圆的圆心根本不存在, 所以也就没有圆都经过 三点. 因此, 我们不能笼统地说经过三个点可作一个圆. 如果 三点在同一条直线上 (叫做共线的点), 便没有圆经过这三点; 如果 三点不在同一条直线上 (叫做不共线的点), 那么 与 的垂直平分线必相交 (为什么?), 这时, 就可作一个圆经过这三点, 又由于 和 的垂直平分线都只有一条, 所以它们的交点也是唯一的, 从而 的长也是唯一的, 所以经过 三点也只能作一个圆.
于是, 我们便得到确切的结论:
定理1
过不共线的三个点,可以作一个圆且只可以作一个圆.
由上述讨论,我们还可看到一个圆的圆心到圆的任一条弦的两个端点的距
离相等,因而可得:
推论1
圆的任一条弦的垂直平分线都通过圆心.
由于任一个 的三个顶点不共线, 因此经过 三个顶点可以作一个圆, 且只可以作一个圆 (图 4.9), 这个圆叫做 的外接圆, 它的圆心 叫做 的外心, 而 叫做 的内接三角形. 由于 点一定在三边的垂直平分线上, 于是又可得:
推论 2
三角形的三边的垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心.
由推论 2 我们又可得到:
推论 3
三角形的三条高线相交于一点.
已知:AD、BE、CF 是 △ABC 的三条高线(图 4.10).求证:AD、BE、CF 相交于一点
证明: 经过 的各顶点 分别作对边的平行线, 设它们分别相交于 各点, 于是 (为什么?), 又因为四边形 和 都是平行四边形 (为什么?).
, 于是 是 的中点.
同理, 是 的中点, 是 的中点, 因此, 分别是 的三边上的垂直平分线, 由推论 2 可知 和 相交于一点.
图 4.10 中, 画出的是锐角三角形, 如 是针角三角形, 上述证明过程同样适用, 同学可自己验证.
三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心.
例1
求作一条已知弧的圆心.
已知 (图 4.11).
求作: 所在圆的圆心.
作法
- 在 上任取三点 , 并且作 .
- 分别作 的垂直平分线 和 , 设它们的交点为 点就是所求作的圆心.
证明: 三点在 上(作法)
是经过 的圆的一部分.
又 是经过 的圆的圆心,
是 所在圆的圆心.
例2
已知 和 各是 的外心和垂心, 于 (图 4.12). 求证:
证明: 已知 于 点, 作 于 点, 由于 是 的外心, 所以 分别是 的中点. 取 的中点 , 作 ,
同理可证, ,
是平行四边形,