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最后更新: 2024-09-20 06:24 参与者    查看: 40 次    纠错    分享    参与项目    词条搜索       

三点共圆与圆内接三角形

我们已知,如果知道了圆心的位置和半径长,那么圆的位置和大小也就确定了.现在我们来研究经过一个点;经过两个点;经过三个点可分别作出几个圆

已知一个点 A, 很明显,以 A 点以外的任何点为圆心,以这点到 A 点的距离为半径所作的圆都经过 A 点(图 4.5).因此,经过一点可以作无数个圆.
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经过两个已知点 AB, 可以作多少个圆呢 (图 4.6)? 由于经过 AB 两点的圆的圆心到 A 点与 B 点的距离应相等, 而和 AB 两点距离相等的点仅在 AB 的垂直平分线上, 所以, 以 AB 的垂直平分线上任一点为圆心, 以这点到 A 点(或 B 点)的距离为半径所作的圆都经过 AB 两点. 因此, 经过两点也可以作无数个圆, 且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上.

现在我们来研究, 经过 ABC 三点可以作多少个圆的问题?
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我们知道, 经过 AB 两点的圆的圆心必定在 AB 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 1 ), 经过 BC 两点的圆的圆心又必定在 BC 的垂直平分线上 (图 4.7 中的 2 ), 因而经过 ABC 三点的圆的圆心必定是直线 12 的交点 O, 由于 OA=OB=OC, 所以以 O 为圆心 OA 为半径的圆经过 ABC 三点.

这样一来, 能不能说经过三个点就可作一个圆呢? 我们再来看图 4.8 中所示的三点 ABC, 它们是在同一条直线上的, 这时 ABBC 的垂直平分线

12 都垂直于同一条直线, 于是 1//2,12 便没有交点, 这就说明了经过 ABC 三点的圆的圆心根本不存在, 所以也就没有圆都经过 ABC三点. 因此, 我们不能笼统地说经过三个点可作一个圆. 如果 ABC 三点在同一条直线上 (叫做共线的点), 便没有圆经过这三点; 如果 ABC 三点不在同一条直线上 (叫做不共线的点), 那么 ABBC 的垂直平分线必相交 (为什么?), 这时, 就可作一个圆经过这三点, 又由于 ABBC 的垂直平分线都只有一条, 所以它们的交点也是唯一的, 从而 OA 的长也是唯一的, 所以经过 ABC 三点也只能作一个圆.

于是, 我们便得到确切的结论:

定理1

过不共线的三个点,可以作一个圆且只可以作一个圆.

由上述讨论,我们还可看到一个圆的圆心到圆的任一条弦的两个端点的距
离相等,因而可得:

推论1

圆的任一条弦的垂直平分线都通过圆心.

由于任一个 ABC 的三个顶点不共线, 因此经过 ABC 三个顶点可以作一个圆, 且只可以作一个圆 O (图 4.9), 这个圆叫做 ABC 的外接圆, 它的圆心 O 叫做 ABC 的外心, 而 ABC 叫做 O 的内接三角形. 由于 OA=OB=OC,O 点一定在三边的垂直平分线上, 于是又可得:
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推论 2

三角形的三边的垂直平分线相交于一点,这个点就是三角形的外心.
由推论 2 我们又可得到:

推论 3

三角形的三条高线相交于一点.

已知:AD、BE、CF 是 △ABC 的三条高线(图 4.10).求证:AD、BE、CF 相交于一点
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证明: 经过 ABC 的各顶点 ABC 分别作对边的平行线, 设它们分别相交于 BCA 各点, 于是 ADBC,BECA,CFAB (为什么?), 又因为四边形 BCACBCBA 都是平行四边形 (为什么?).
CA=BC=AB, 于是 ABC 的中点.
同理, BAC 的中点, CAB 的中点, 因此, ADBECF 分别是 ABC 的三边上的垂直平分线, 由推论 2 可知 ADBECF 相交于一点.

图 4.10 中, 画出的是锐角三角形, 如 ABC 是针角三角形, 上述证明过程同样适用, 同学可自己验证.

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心.
例1求作一条已知弧的圆心.
已知 EF (图 4.11).
求作: EF 所在圆的圆心.
作法

  1. EF^ 上任取三点 ABC, 并且作 ABBC.
  2. 分别作 ABBC 的垂直平分线 12, 设它们的交点为 O,O 点就是所求作的圆心.
    证明: ABC 三点在 EF^ 上(作法)
    EF^ 是经过 ABC 的圆的一部分.
    O 是经过 ABC 的圆的圆心,
    OEF 所在圆的圆心.
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例2 已知 OH 各是 ABC 的外心和垂心, OLBCL (图 4.12). 求证: OL=12AH

证明: 已知 OLBCL 点, 作 OMABM 点, 由于 OABC 的外心, 所以 LM 分别是 BCAB 的中点. 取 BH 的中点 K, 作 MK,LK,

MK//AH,OL//AH,MK//OL,

同理可证, LK//OM,
OMKL 是平行四边形,
OL=MK=12AH


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