最后更新: 2026-04-04 10:01 查看: 342 次纠错评论(0) 课件开VIP

圆的对称性

## 圆的对称性
已知 $\odot O$ (图 4.13), 在 $O$ 上任取一点 $A$, 引直径 $\overline{A A^{\prime}}$, 则 $\overline{A A^{\prime}}$ 被圆心 $O$ 平分. 这就是说 $A^{\prime}$ 是以点 $O$ 为对称中心的点 $A$ 的对称点, 如果在 $\odot O$ 上再取 $B, C, D, \ldots$, 并引直径 $\overline{B B^{\prime}}, \overline{C C^{\prime}}, \overline{D D^{\prime}}, \ldots$, 那么点 $B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}, \ldots$ 也都分别是以 $O$ 为对称中心的点 $B, C, D, \ldots$ 的对称点. 这就说明了 $\odot O$ 上以 $O$ 为对称中心的任何点的对称点都在 $\odot O$ 上. 由此可知：

> **圆是中心对称形；圆心是它的对称中心。**

已知 $\overline{A A^{\prime}}$ 是 $\odot O$ 的任一条直径（图 4.14）, 作直径 $\overline{B B^{\prime}} \perp \overline{A A^{\prime}}$, 把 $\odot O$ 左边部分沿着直线 $A A^{\prime}$ 翻折过来, 由于 $\overline{B B^{\prime}} \perp \overline{A A^{\prime}}, \overline{O B^{\prime}}=\overline{O B}$, 那么 $B$ 点就与 $B^{\prime}$ 点重合, 因为经过 $A 、 B^{\prime} 、 A^{\prime}$ 三点只可以作一个圆, 所以以 $A 、 A^{\prime}$ 为端点,经过 $B^{\prime}$ 点的弧只有一条, 因此 $\widehat{A B A^{\prime}}$ 与 $\widehat{A B^{\prime} A^{\prime}}$ 重合. 由此可知,

> **圆是轴对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴.**

由上述圆的对称性，我们可推出许多圆的重要性质。
**推论 1**

>**圆被它的任何一条直径截出的两段弧相等. 这两段弧都叫做半圆.**

小于半圆的弧叫做**劣弧**，大于半圆的弧叫做**优弧**. 以后说到弧，如不特别指明，一般都指的是劣弧。
 ![图片](/uploads/2024-09/20c047.jpg)
 
 
 推论 2
> **一圆的直径垂直于一条非直径的弦的充分必要条件是这直径平分这条弦或平分这条弦所对的弧。**

我们来证必要性，充分性留给同学们自证。
已知： $\odot O$ 中, 直径 $\overline{C D} \perp$ 弦 $\overline{A B}$ 于 $E$ 点（图 4.15）.

![图片](/uploads/2026-04/544984.jpg)
 
 
求证: $\overline{A E}=\overline{B E}, \widehat{A D}=\widehat{B D}, \widehat{A C}=\widehat{B C}$.
证明: $\because \overline{C D}$ 是 $\odot O$ 的直径
$\therefore$ 直线 $C D$ 是 $\odot O$ 的对称轴.
又 $\because C D \perp A B$ 于 $E$ 点
$\therefore C D$ 也是等腰 $\triangle O A B$ 的对称轴. 以 $C D$ 为轴把图形翻折叠合时, 半圆 $\overparen{C A D}$ 与半圆 $\overparen{C B D}$ 重合, $\overline{A E}$ 与 $\overline{B E}$ 重合. $A$ 点与 $B$ 点重合, $\overparen{A D}$ 与 $\overparen{B D}$, $\overparen{A C}$ 与 $\overparen{B C}$ 都重合

$$
\therefore \quad \overline{A E}=\overline{B E}, \quad \widehat{A D}=\widehat{B D}, \quad \widehat{A C}=\widehat{B C} .
$$

`例`平分一条已知弧.
已知: $\overparen{A B}$ (图 4.16).

![图片](/uploads/2026-04/f3fedf.jpg)
 
求作: 平分 $\widehat{A B}$ 的点.
作法
1. 作 $\overline{A B}$
2. 作 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 $C D$ 交 $\widehat{A B}$ 于 $E$ 点. 则 $E$ 点就是所求作的点.

证明: $\because C D$ 是 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 (作法).
$\therefore C D$ 必通过圆心,
 
 
$$
\begin{aligned}
& \therefore \widehat{A E}=\widehat{B E} \text { (推论 2). } \\
& \therefore \quad E \text { 点平分 } \overparen{A B} \text {. }
\end{aligned}
$$

`例` 已知大小两圆有公共圆心 $O$, 大圆的弦交小圆于 $C 、 D$ (图 4.17).求证： $\overline{A C}=\overline{B D}$ 。

![图片](/uploads/2026-04/2b0c31.jpg)
 
证明: 作 $\overline{O M} \perp \overline{A B}$ 于 $M$ 点, 则 $\overline{A M}=\overline{B M}, \overline{C M}=\overline{D M}$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \overline{A M}-\overline{C M}=\overline{B M}-\overline{D M} . \\
& \therefore \overline{A C}=\overline{B D}
\end{aligned}
$$
 
 
`例` 已知 $\odot O$ 的两条平行弦 $\overline{A B}=6 \mathrm{~cm}, \overline{C D}=8 \mathrm{~cm}$ 且 $A B$ 和 $C D$ 间的距离是 7 cm , 求 $\odot O$ 的半径长 (图 4.18).

![图片](/uploads/2026-04/8bba4d.jpg)
 
解: 作 $O E \perp \overline{A B}$ 于 $E$ 点, 延长 $\overline{E O}$ 交 $\overline{C D}$ 于 $F$ 点.

$$
\begin{aligned}
& \because \quad A B / / C D \\
& \therefore \quad O F \perp C D
\end{aligned}
$$
 
$\therefore \overline{E F}$ 为 $\overline{A B}$ 和 $\overline{C D}$ 的公垂线段, 且 $\overline{E F}=7 \mathrm{~cm}, \overline{A E}=\frac{1}{2} \overline{A B}=3 \mathrm{~cm}$, $\overline{C F}=\frac{1}{2} \overline{C D}=4 \mathrm{~cm}$.

设 $\overline{O A}=\overline{O C}=x, \overline{O E}=y$ ，则由勾股定理可得方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2=3^2+y^2 \\
x^2=(7-y)^2+4^2
\end{array}\right.
$$

解这个方程组, 舍去不合理的根得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=5 \\
y=4
\end{array}\right.
$$

答: $\odot O$ 的半径是 5 cm .

`例` 已知：$A, B$ 是 $\odot O$ 上的两点，$\angle A O B=120^{\circ}, C$ 是 $\overparen{A B}$ 的中点．试判断四边形 $A O B C$ 的形状，并说明理由．

解：四边形 $A O B C$ 为菱形．
理由如下：
如图21－26，连接 $O C$ ．
$\because \quad C$ 是 $\overparen{A B}$ 的中点，

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \overparen{A C}=\overparen{B C} . \\
\because & \angle A O B=120^{\circ}, \\
\therefore & \angle 1=\angle 2=\frac{1}{2} \angle A O B=60^{\circ} .
\end{array}
$$

又 $\because O A=O C=O B$ ，
 
  ![图片](/uploads/2025-06/443b0b.jpg)
 
$\therefore \triangle A O C, \triangle B O C$ 均为等边三角形．
$\therefore A C=A O=O B=B C$ ．
$\therefore$ 四边形 $A O B C$ 为菱形．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：圆、弦、半径、直径、优弧、劣弧、弓形的定义

下一篇：垂径定理与弦心距★★★★★

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)