最后更新: 2024-09-20 06:27 ● 参与者查看: 29 次纠错分享参与项目词条搜索

圆的对称性

已知 $\odot O$ (图 4.13), 在 $O$ 上任取一点 $A$, 引直径 $\overline{A A^{\prime}}$, 则 $\overline{A A^{\prime}}$ 被圆心 $O$ 平分. 这就是说 $A^{\prime}$ 是以点 $O$ 为对称中心的点 $A$ 的对称点, 如果在 $\odot O$ 上再取 $B, C, D, \ldots$, 并引直径 $\overline{B B^{\prime}}, \overline{C C^{\prime}}, \overline{D D^{\prime}}, \ldots$, 那么点 $B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime}, \ldots$ 也都分别是以 $O$ 为对称中心的点 $B, C, D, \ldots$ 的对称点. 这就说明了 $\odot O$ 上以 $O$ 为对称中心的任何点的对称点都在 $\odot O$ 上. 由此可知：圆是中心对称形；圆心是它的对称中心。

已知 $\overline{A A^{\prime}}$ 是 $\odot O$ 的任一条直径（图 4.14）, 作直径 $\overline{B B^{\prime}} \perp \overline{A A^{\prime}}$, 把 $\odot O$ 左边部分沿着直线 $A A^{\prime}$ 翻折过来, 由于 $\overline{B B^{\prime}} \perp \overline{A A^{\prime}}, \overline{O B^{\prime}}=\overline{O B}$, 那么 $B$ 点就与 $B^{\prime}$ 点重合, 因为经过 $A 、 B^{\prime} 、 A^{\prime}$ 三点只可以作一个圆, 所以以 $A 、 A^{\prime}$ 为端点,经过 $B^{\prime}$ 点的弧只有一条, 因此 $\widehat{A B A^{\prime}}$ 与 $\widehat{A B^{\prime} A^{\prime}}$ 重合. 由此可知, 圆是轴对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴.

由上述圆的对称性，我们可推出许多圆的重要性质。
推论 1
圆被它的任何一条直径截出的两段弧相等. 这两段弧都叫做半圆.

小于半圆的弧叫做**劣弧**，大于半圆的弧叫做**优弧**. 以后说到弧，如不特别指明，一般都指的是劣弧。
 ![图片](/uploads/2024-09/20c047.jpg)
 
 
 推论 2
一圆的直径垂直于一条非直径的弦的充分必要条件是这直径平分这条弦或平分这条弦所对的弧。

我们来证必要性，充分性留给同学们自证。
已知： $\odot O$ 中, 直径 $\overline{C D} \perp$ 弦 $\overline{A B}$ 于 $E$ 点（图 4.15）.
求证: $\overline{A E}=\overline{B E}, \widehat{A D}=\widehat{B D}, \widehat{A C}=\widehat{B C}$.
证明: $\because \overline{C D}$ 是 $\odot O$ 的直径
$\therefore$ 直线 $C D$ 是 $\odot O$ 的对称轴.
又 $\because C D \perp A B$ 于 $E$ 点
$\therefore C D$ 也是等腰 $\triangle O A B$ 的对称轴. 以 $C D$ 为轴把图形翻折叠合时, 半圆 $\overparen{C A D}$ 与半圆 $\overparen{C B D}$ 重合, $\overline{A E}$ 与 $\overline{B E}$ 重合. $A$ 点与 $B$ 点重合, $\overparen{A D}$ 与 $\overparen{B D}$, $\overparen{A C}$ 与 $\overparen{B C}$ 都重合

$$
\therefore \quad \overline{A E}=\overline{B E}, \quad \widehat{A D}=\widehat{B D}, \quad \widehat{A C}=\widehat{B C} .
$$

例 4.3 平分一条已知弧.
已知: $\overparen{A B}$ (图 4.16).
求作: 平分 $\widehat{A B}$ 的点.
作法
1. 作 $\overline{A B}$
2. 作 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 $C D$ 交 $\widehat{A B}$ 于 $E$ 点. 则 $E$ 点就是所求作的点.

证明: $\because C D$ 是 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 (作法).
$\therefore C D$ 必通过圆心,
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$$
\begin{aligned}
& \therefore \widehat{A E}=\widehat{B E} \text { (推论 2). } \\
& \therefore \quad E \text { 点平分 } \overparen{A B} \text {. }
\end{aligned}
$$

例 4.4 已知大小两圆有公共圆心 $O$, 大圆的弦交小圆于 $C 、 D$ (图 4.17).求证： $\overline{A C}=\overline{B D}$ 。

证明: 作 $\overline{O M} \perp \overline{A B}$ 于 $M$ 点, 则 $\overline{A M}=\overline{B M}, \overline{C M}=\overline{D M}$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore \quad \overline{A M}-\overline{C M}=\overline{B M}-\overline{D M} . \\
& \therefore \overline{A C}=\overline{B D}
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-09/a5e8b0.jpg)
 
 例 4.5 已知 $\odot O$ 的两条平行弦 $\overline{A B}=6 \mathrm{~cm}, \overline{C D}=8 \mathrm{~cm}$ 且 $A B$ 和 $C D$ 间的距离是 7 cm , 求 $\odot O$ 的半径长 (图 4.18).

解: 作 $O E \perp \overline{A B}$ 于 $E$ 点, 延长 $\overline{E O}$ 交 $\overline{C D}$ 于 $F$ 点.

$$
\begin{aligned}
& \because \quad A B / / C D \\
& \therefore \quad O F \perp C D
\end{aligned}
$$
 
$\therefore \overline{E F}$ 为 $\overline{A B}$ 和 $\overline{C D}$ 的公垂线段, 且 $\overline{E F}=7 \mathrm{~cm}, \overline{A E}=\frac{1}{2} \overline{A B}=3 \mathrm{~cm}$, $\overline{C F}=\frac{1}{2} \overline{C D}=4 \mathrm{~cm}$.

设 $\overline{O A}=\overline{O C}=x, \overline{O E}=y$ ，则由勾股定理可得方程组：

$$
\left\{\begin{array}{l}
x^2=3^2+y^2 \\
x^2=(7-y)^2+4^2
\end{array}\right.
$$

解这个方程组, 舍去不合理的根得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=5 \\
y=4
\end{array}\right.
$$

答: $\odot O$ 的半径是 5 cm .

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