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弧、弦、弦心距的关系★★★★★

## 弧、弦、弦心距、弧长与扇形面积

圆的圆心到一条弦的距离, 叫做这条弦的**弦心距**, 例如在图 4.19 中, $\overline{A B}$是 $\odot O$ 的一条弦, $\overline{O E} \perp \overline{A B}$ 于 $E$ 点, $\overline{O E}$ 的长就是弦 $\overline{A B}$ 的**弦心距**.

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 顶点在圆心的角叫**圆心角**，在上图里，$\angle AOB、\angle COD$ 都是圆心角。

下面我们来学习弧、弦、圆心角、和弦心距之间的关系.

> **定理:在同圆或等圆中，两条弧相等的充要条件是它们所对的弦相等，或它们所对的弦的弦心距相等.**

我们来证条件的必要性, 充分性由同学们自证:
`例`已知：在 $\odot O$ 中， $\overparen{A B}=\overparen{C D}, O E \perp A B$ 于 $E$ 点， $O F \perp C D$ 于 $F$ 点（图 4.19).
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求证: $\overline{A B}=\overline{C D}, \overline{O E}=\overline{O F}$.
证明: 作半径 $\overline{O A} 、 \overline{O B} 、 \overline{O C} 、 \overline{O D}$. 把 $\widehat{A B}$ 连同经过两端的半径绕着 $O$ 点, 依箭头所指的方向旋转, 使半径 $\overline{O A}$ 和半径 $\overline{O C}$ 重合.
$\because \widehat{A B}=\widehat{C D}$.
$\therefore \overparen{A B}$ 与 $\widehat{C D}$ 重合, 弦 $\overline{A B}$ 与弦 $\overline{C D}$ 重合.
又 $\because$ 从一点到一条直线只可以作一条垂线,
$\therefore \overline{O E}$ 与 $\overline{O F}$ 也重合
$\therefore \overline{A B}=\overline{C D}, \quad \overline{O E}=\overline{O F}$.

同理，可以证明以下推论：
**在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等**．

对于等圆情况的证明，只要使两圆重合就可以了.
这个定理告诉我们，在同圆或等圆中，"圆心角相等"、"弧相等"、"弦相等"、"弦心距相等" 它们当中只要有一个是对的, 其它两个也一定是对的. 这就是说:

> **圆心角 $\Longleftrightarrow$ 弧相等 $\Longleftrightarrow$ 弦相等 $\Longleftrightarrow$ 弦心距相等**

这个定理为我们后期求证弦、弧、圆心角、弦心距相等提供了依据：只要证明一个相等，其他的自然都相等。

`例` 已知 (图 4.20), $\overline{O E}$ 是 $\odot O$ 中的半径, $F$ 是 $\overline{O E}$ 上任一点, $\overline{A B}$ 和 $\overline{C D}$ 为过 $F$ 点的弦且 $\angle A F O=\angle D F O$.
求证 $AB=CD$

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 证明: 作 $\overline{O M} \perp \overline{A B}$ 于 $M$ 点, $\overline{O N} \perp \overline{C D}$ 于 $N$ 点, 在直角 $\triangle O M F$ 与直角 $\triangle O N F$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle M F O=\angle N F O, \quad \overline{O F}=\overline{O F} \\
& \therefore \quad \triangle O M F \cong \triangle O N F \\
& \therefore \quad \overline{O M}=\overline{O N} \\
& \therefore \quad \overline{A B}=\overline{C D}
\end{aligned}
$$

## 弧长

我们知道，把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的圆心角是 $1^{\circ}$ 的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 360 份。我们把每一份这样的弧叫做 $1^{\circ}$ 的弧。

**一般地，$n^{\circ}$ 的圆心角对着 $n^{\circ}$ 的弧，$n^{\circ}$ 的弧对着 $n^{\circ}$ 的圆心角．也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等**．

如图 21-8，将整个圆分成 360 等份，我们把每一份弧称为 $1^{\circ}$ 的弧，由此可知，弧的度数等于它所对的圆心角的度数．在图21-8中，如果 $\angle A O B$ 的度数为 $n$ ，那么 $\angle A O B$ 所对的 $\overparen{A B}$的度数为 $n$ ，也可以说 $\overparen{A B}$ 是 $n^{\circ}$ 的弧．

![图片](/uploads/2025-06/a56ee6.jpg){width=300px}
 
因为 $360^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长就是圆周长  $C=2 \pi R$ ，所以 $1^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长是 $\frac{2 \pi R}{360}$ ，即 $\frac{\pi R}{180}$ ．于是可得，在半径为 $R$ 的圆中，$n^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长 $l$ 的计算公式：
$$
\boxed{l=\frac{n \pi R}{180}}
$$

`例` 已知：如图 24-26，等边三角形 $A B C$ 的三个顶点都在 $\odot O$ 上．

![图片](/uploads/2026-04/2095d3.jpg){width=250px}

求证：$\angle A O B=\angle B O C=\angle C O A=120^{\circ}$ ．
证明 连接 $O A, O B, O C$ ．

$$
\begin{aligned}
\because \quad A B=B C & =C A, \\
\therefore \quad \angle A O B & =\angle B O C=\angle C O A \\
& =\frac{1}{3} \times 360^{\circ}=120^{\circ} .
\end{aligned}
$$

**这个结论需要记住：圆周上，等边三角形对应的圆心角都是$120^{\circ}$**

`例`已知：如图 24-27，点 $O$ 是 $\angle A$ 平分线上的一点， 
$\odot O$ 分别交 $\angle A$ 两边于点 $C, D$ 和点 $E, F$ ．
求证：$C D=E F$ ．

![图片](/uploads/2026-04/3b13ec.jpg){width=250px}
 
 
证明 过点 $O$ 作 $O K \perp C D 、 O K^{\prime} \perp E F$ ，垂足分别为 $K, K^{\prime}$ ．
$\because O K=O K^{\prime}$（角平分线性质），

$$
\therefore \quad C D=E F .
$$

`例` 如图24-28，$A B, C D$ 为 $\odot O$ 的两条直径，$C E$ 为 $\odot O$ 的弦，且 $C E / / A B, \overparen{C E}$ 为 $40^{\circ}$ ，求 $\angle B O D$ 的度数．

![图片](/uploads/2026-04/23d4b7.jpg){width=250px}

解 连接 $O E$ ．

$$
\begin{array}{ll}
\because & \overparen{C E} \text { 为 } 40^{\circ}, \\
\therefore & \angle C O E=40^{\circ} . \\
\because & O C=O E, \\
\therefore & \angle C=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ} . \\
\because & C E / / A B, \\
\therefore & \angle A O D=\angle C=70^{\circ} . \\
\therefore & \angle B O D=180^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ} .
\end{array}
$$

## 证明题举例
`例`如图，已知 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径，$M, N$ 分别是 $O A 、 O B$ 的中点， $C M \perp A B, D N \perp A B$ ，垂足分别为$M, N$ ．求证：$\overparen{A C}=\overparen{B D}$

![图片](/uploads/2026-04/b2a623.jpg){width=250px}
 
 证明： 如图所示，连接 $O C, O D$ ，则 $O C=O D$ ．
$\because O A=O B, M, N$ 分别是 $O A, O B$的中点，$\therefore O M=O N$ ．

![图片](/uploads/2026-04/50556c.jpg){width=250px}
 
 
$\because C M \perp A B, D N \perp A B$,
$\therefore \angle C M O=\angle D N O=90^{\circ}$ ，
$\therefore \mathrm{Rt} \triangle C M O \cong \mathrm{Rt} \triangle D N O$ ，
$\therefore \angle 1=\angle 2, \therefore \overparen{A C}=\overparen{B D}$.

在本题里，要证明两个弧相等，只要能证明他们的圆心角相等即可。

`例`如图，点 $A, B, C, D$ 在
$\odot O$ 上，$\overparen{A B}=\overparen{C D}$ ．求证：
（1）$A C=B D$ ．
（2）$\triangle A B E \backsim \triangle D C E$ ．

解：（1）$\because \overparen{A B}=\overparen{C D}, \therefore \overparen{A B}+\overparen{A D}=\overparen{C D}+\overparen{A D}$ ，

![图片](/uploads/2026-04/be0ae0.jpg)
 
 
$$
\begin{aligned}
& \therefore \overparen{B A D}=\overparen{A D C}, \therefore B D=A C . \\
& (2) \because \angle A=\angle D, \angle B=\angle C, \\
& \therefore \triangle A B E \backsim \triangle D C E .
\end{aligned}
$$

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