最后更新: 2024-09-20 06:29 ● 参与者查看: 100 次纠错分享参与项目词条搜索

弧、弦和弦心距之间的关系

圆的圆心到一条弦的距离, 叫做这条弦的弦心距, 例如在图 4.19 中, $\overline{A B}$是 $\odot O$ 的一条弦, $\overline{O E} \perp \overline{A B}$ 于 $E$ 点, $\overline{O E}$ 的长就是弦 $\overline{A B}$ 的弦心距. 下面我们来学习弧、弦和弦心距之间的关系.
### 定理
在同圆或等圆中，两条弧相等的充要条件是它们所对的弦相等，或它们所对的弦的弦心距相等.
 ![图片](/uploads/2024-09/8aa28d.jpg)
 我们来证条件的必要性, 充分性由同学们自证:
已知：在 $\odot O$ 中， $\overparen{A B}=\overparen{C D}, O E \perp A B$ 于 $E$ 点， $O F \perp C D$ 于 $F$ 点（图 4.19).

求证: $\overline{A B}=\overline{C D}, \overline{O E}=\overline{O F}$.
证明: 作半径 $\overline{O A} 、 \overline{O B} 、 \overline{O C} 、 \overline{O D}$. 把 $\widehat{A B}$ 连同经过两端的半径绕着 $O$ 点, 依箭头所指的方向旋转, 使半径 $\overline{O A}$ 和半径 $\overline{O C}$ 重合.
$\because \widehat{A B}=\widehat{C D}$.
$\therefore \overparen{A B}$ 与 $\widehat{C D}$ 重合, 弦 $\overline{A B}$ 与弦 $\overline{C D}$ 重合.
又 $\because$ 从一点到一条直线只可以作一条垂线,
$\therefore \overline{O E}$ 与 $\overline{O F}$ 也重合
$\therefore \overline{A B}=\overline{C D}, \quad \overline{O E}=\overline{O F}$.
对于等圆情况的证明，只要使两圆重合就可以了.
这个定理告诉我们，在同圆或等圆中，"弧相等"、"弦相等"、"弦心距相等" 它们当中只要有一个是对的, 其它两个也一定是对的. 这就是说:
"弧相等" $\Longleftrightarrow$ "弦相等" $\Longleftrightarrow$ "弦心距相等"
例 4.6 已知 (图 4.20), $\overline{O E}$ 是 $\odot O$ 中的半径, $F$ 是 $\overline{O E}$ 上任一点, $\overline{A B}$ 和 $\overline{C D}$ 为过 $F$ 点的弦且 $\angle A F O=\angle D F O$.
求证 $AB=CD$
 ![图片](/uploads/2024-09/e47d7a.jpg)
 
 证明: 作 $\overline{O M} \perp \overline{A B}$ 于 $M$ 点, $\overline{O N} \perp \overline{C D}$ 于 $N$ 点, 在直角 $\triangle O M F$ 与直角 $\triangle O N F$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \angle M F O=\angle N F O, \quad \overline{O F}=\overline{O F} \\
& \therefore \quad \triangle O M F \cong \triangle O N F \\
& \therefore \quad \overline{O M}=\overline{O N} \\
& \therefore \quad \overline{A B}=\overline{C D}
\end{aligned}
$$

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