最后更新: 2026-04-06 12:14 查看: 67 次纠错评论(0) 课件开VIP

扇形与弧长

## 扇形
由**两条半径**和**一段圆弧**围成的平面图形叫做**扇形**．如图所示，$\overparen{A B}$ 和半径 $O A, O B$ 组成的图形是一个扇形，读作＂扇形 $A O B$＂．

![图片](/uploads/2026-04/5c8116.jpg)
 
 `例` 如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形；乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心 $O$ 的两条线段与一段圆弧所围成的图形．下列叙述正确的是

![图片](/uploads/2026-04/db2ffe.jpg){width=450px}

A．只有甲是扇形
B．只有乙是扇形
C．只有丙是扇形
D．只有乙、丙是扇形

答案：B

## 弧长

我们知道，把顶点在圆心的周角等分成 360 份，每一份的圆心角是 $1^{\circ}$ 的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆周也被等分成 360 份。我们把每一份这样的弧叫做 $1^{\circ}$ 的弧。

**一般地，$n^{\circ}$ 的圆心角对着 $n^{\circ}$ 的弧，$n^{\circ}$ 的弧对着 $n^{\circ}$ 的圆心角．也就是说，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等**．

如图 21-8，将整个圆分成 360 等份，我们把每一份弧称为 $1^{\circ}$ 的弧，由此可知，弧的度数等于它所对的圆心角的度数．在图21-8中，如果 $\angle A O B$ 的度数为 $n$ ，那么 $\angle A O B$ 所对的 $\overparen{A B}$的度数为 $n$ ，也可以说 $\overparen{A B}$ 是 $n^{\circ}$ 的弧．

![图片](/uploads/2025-06/a56ee6.jpg){width=300px}
 
因为 $360^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长就是圆周长  $C=2 \pi R$ ，所以 $1^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长是 $\frac{2 \pi R}{360}$ ，即 $\frac{\pi R}{180}$ ．于是可得，在半径为 $R$ 的圆中，$n^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长 $l$ 的计算公式：
$$
\boxed{l=\frac{n \pi R}{180}}
$$

`例` 道路施工部门在铺设形如图 21-9 的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．试计算图中的管道中心线 $\overparen{A B}$ 的长（ $\pi$ 取 3.14 ，结果精确到 0.1 m ）。

![图片](/uploads/2025-06/7fdd81.jpg){WIDTH=400PX}

解：$\because O A=40, n=120$ ，

$$
\therefore \quad l=\frac{n \pi R}{180}=\frac{120 \times 3.14 \times 40}{180} \approx 83.7(m) .
$$

答：$\overparen{A B}$ 的长约为 83.7 m ．
我们已经知道，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．如图 21-10，圆的半径也是扇形的半径．

## 扇形面积
半径为 $R$的圆的面积为$\pi R^2$, 而圆的一周为$360^{\circ}$， 因此圆心角为 $n^{\circ}$ 的扇形面积的计算公式是

$$
  S_{\text {扇形 }}=\frac{n \pi R^2}{360} .
$$

因为 $\frac{n \pi R^2}{360}=\frac{n \pi R}{180} \cdot \frac{R}{2}=\frac{1}{2} l R$ ，所以扇形的面积公式还可以写成

$$
 S_{\text {肩形 }}=\frac{1}{2} l R .
$$

## 类比记忆扇形面积和三角形面积

参考下图：容易知道，
三角形$S_{OAB}= AB * OC /2 =底*高 \div 2 $

扇形$S_{OAB}= \overparen{AB} * OD /2 =底*高 \div 2 $
 ![图片](/uploads/2026-04/272574.jpg){WIDTH=250PX}
 
在扇形里，底是 $\overparen{AB}$,高是半径$R$，因此就是
$S=\frac{1}{2} l R$

`例` 如图21－11，现有一把折扇和一把圆扇．已知折扇的骨柄长等于圆扇的直径，折扇扇面的宽度是骨柄长的 $\frac{2}{3}$ ，折扇张开的角度为 $120^{\circ}$ ，通过计算来说明哪一把扇子的扇面面积较大．

![图片](/uploads/2026-04/3ad2c2.jpg)
 
 
 
 解：由折扇的骨柄长和圆扇的直径都是 $a$ ，得

$$
\begin{aligned}
& S_{\text {折扇的扇面 }}=S_{\text {大扇形 }}-S_{\text {小扇形 }} \\
&=\frac{120}{360} \times \pi \times a^2-\frac{120}{360} \times \pi \times\left(a-\frac{2}{3} a\right)^2 \\
&=\frac{8}{27} \pi a^2 
\end{aligned}
$$

$$
S_{\text {圆扇的扇面 }}=\pi \times\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \pi a^2

$$
$$
 \because \quad \frac{8}{27} \pi a^2>\frac{1}{4} \pi a^2
$$

$\therefore \quad$ 折扇的扇面面积大于圆扇的扇面面积．

## 扇形的周长与面积

设半径为 $r$，圆心角为 $n°$（角度）或 $θ$（弧度），弧长为 $l$。

**1. 弧长公式**
- 角度制：$l = \frac{n\pi r}{180}$
- 弧度制：$l = \theta r$

**2. 面积公式**
- 已知圆心角与半径：$S = \frac{n\pi r^2}{360}$
- 已知弧长与半径：$S = \frac{1}{2}lr$
- 弧度制：$S = \frac{1}{2}\theta r^2$

**3. 周长**
扇形周长 = 弧长 + 两条半径
$C = l + 2r$

`例` 半径 6 cm，圆心角 60° 的扇形，求弧长、面积与周长。
- **弧长**：$l = \frac{60 \times \pi \times 6}{180} = 2\pi \approx 6.28 \text{ cm}$
- **面积**：$S = \frac{60 \times \pi \times 6^2}{360} = 6\pi \approx 18.85 \text{ cm}^2$
- **周长**：$C = 2\pi + 2 \times 6 = 12 + 2\pi \approx 18.28 \text{ cm}$

### 利用扇形计算弓形的面积
①当弓形所含的弧是劣弧时，如图 $\mathrm{a}, S_{\text {弓形 }}=S_{\text {扇形 } A O B}-S_{\triangle A O B}$ ；

②当弓形所含的弧是优弧时，如图 $\mathrm{b}, S_{\text {弓形 }}=S_{\text {扇形 } A O B}+S_{\triangle A O B}$ ；

③当弓形所含的弧是半圆时，如图 $\mathrm{c}, S_{\text {弓形 }}=\frac{1}{2} S_{\text {圆 }}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/269e8a.jpg)

`例` 如图，四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$的内接四边形，$\odot O$ 的半径为 2 ， $\angle B=135^{\circ}$ ，则 $\overparen{A C}$ 的长是

![图片](/uploads/2026-04/3e05b9.jpg)
 
 解：因为四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形，$\angle B=135^{\circ}$ ，所以 $\angle D =45^{\circ}$ ．如图，连接 $O A 、 O C$ ，则 $\angle A O C =2 \angle D=90^{\circ}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/7a728e.jpg)
 
所以 $\overparen{A C}$ 的长是 $\frac{90 \times \pi \times 2}{180}=\pi$

## 圆锥侧面展开图

如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆潅的侧面积等于扇形的面积（如下图）．若圆锥的底面圆的半径为 $r$ ，母线长为 $l$ ，则这个扇形的半径为 $l$ ，扇形的弧长为 $2 \pi r$ ，

$$
\begin{aligned}
& S_{\text {圆锥侧 }}=\frac{1}{2} l \cdot 2 \pi r=\pi r l . \\
& S_{\text {圆锥表 }}=S_{\text {圆锥侧 }}+S_{\text {圆锥底 }}=\pi r l+\pi r^2=\pi r(l+r) .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2026-04/e67a13.jpg)

`例` 如图，用一个半径为 30 cm ，面积为 $300 \pi \mathrm{~cm}^2$ 的扇形铁皮制作一个无底的圆锥 （不计损耗），则圆锥的底面圆的半径 $r$ 为

![图片](/uploads/2026-04/208c35.jpg)
 
 解： ∵ 扇形的半径为 30 cm ，面积为 $300 \pi \mathrm{~cm}^2$ ， ∴ 扇形的弧长为 $\frac{300 \pi \times 2}{30}=20 \pi(\mathrm{~cm}) . \because$ 圆锥的底面圆的周长等于它的侧面展开图中扇形的弧长，$\therefore 2 \pi r=20 \pi, \therefore r=10 \mathrm{~cm}$

`例`如图，下面是两个半圆，$O$为大半圆的圆心，$A B$ 是半圆 $O$ 的弦，$C D$ 是半圆 $O$ 的直径，$A B$ 与小半圆相切，$A B / / C D$ ，且 $A B=$ 24 ，求图中阴影部分的面积．

![图片](/uploads/2026-04/121556.jpg)
 
 解  将小半圆向右平移，使两个半圆的圆心重合，如图所示．设 $A B$ 与小半圆的切点为 $E$ ，连接 $O B, O E$ ．由切线的性质及垂径定理可得 $O E \perp$

$$
\begin{aligned}
& A B, B E=\frac{1}{2} A B=12, \therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {大半圆 }}-S_{\text {小半国 }}=\frac{1}{2} \pi \cdot \\
& O B^2-\frac{1}{2} \pi \cdot O E^2=\frac{1}{2} \pi \cdot\left(O B^2-O E^2\right)=\frac{1}{2} \pi \cdot B E^2 \\
& =72 \pi .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2026-04/cddad3.jpg)

## 发散思维
 
`例`圆锥底面圆的半径为 1 cm ，母线长为 3 cm ，有一只蚂蚁位于底面圆周上的点 $A$ 处，它从点 $A$ 出发沿圆锥侧面爬行一周后又回到原出发点．请你给它指出一条最短的爬行路径，并求出最短路程．

![图片](/uploads/2026-04/fa12c3.jpg)
 
 解  如图，将圆锥的侧面沿 $O A$ 展开，连接 $A A^{\prime}$ ，则蚂蚁爬行的最短路径为 $A A^{\prime}$ ．过点 $O$ 作 $O C \perp A A^{\prime}$ 于点 $C$ ．
 
  ![图片](/uploads/2026-04/c08730.jpg)
  
  由题意可知 $O A=O A^{\prime}=3 \mathrm{~cm}, \overparen{A A^{\prime}}$ 的长为 $2 \pi \times 1= 2 \pi(\mathrm{~cm})$ 。
设 $\angle A O A^{\prime}=n^{\circ}$ ，则 $2 \pi=\frac{n \pi \times 3}{180}$ ，解得 $n=120$ ，
即 $\angle A O A^{\prime}=120^{\circ}, \therefore \angle A O C=60^{\circ}, \therefore \angle O A C=30^{\circ}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \therefore O C=\frac{1}{2} O A=\frac{3}{2} \mathrm{~cm}, \therefore A C=\sqrt{O A^2-O C^2}= \\
& \frac{3 \sqrt{3}}{2} \mathrm{~cm}, \therefore A A^{\prime}=2 A C=3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

即蚂蚁爬行的最短路程是 $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ ．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：弧、弦、弦心距的关系★★★★★

下一篇：三点共圆与三角形的外心与垂心

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)