最后更新: 2025-06-26 15:23 查看: 93 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

圆周的周长与面积

##  圆的周长和面积
由于圆被 $n$ 等分后, 顺次连结各分点, 便得到一个 $n$ 边形, 如果再把这 $n$段弧的中点取出来, 圆上便出现了 $2 n$ 个分点, 而顺次连结这个 $2 n$ 分点所得到的正 $2 n$ 边形, 便包围着原来的正 $n$ 边形 (图4.82), 那么, 这个正 $2 n$ 边形的周长和面积都比原来的正 $n$ 边形的周长和面积大, 如此下去, 我们还可继续得出圆内接正 $4 n$ 边形、正 $8 n$ 边形 $\cdots \cdots$ 我们可以看到这样的圆的内接正 $n 、 2 n$ 、 $4 n 、 8 n 、 \cdots \cdots$ 边形的边数越增长, 它们的周长和面积就越逼近圆的周长和面积.这样一来, 当已知圆的半径时, 我们便可计算它的内接正$n 、 2 n 、 4 n 、 8 n 、 \cdots \cdots$边形的周长和面积, 作为精确度不同的圆周长和圆面积的近似值.

现在我们来举例说明, 半径是一个单位长的圆内接正 $4 、 8 、 16 、 32 、 64$ 边形的周长的计算方法.

如图 4.82, 设 $\overline{A_1 A_2}$ 是半径为 1 个单位长的圆内接正 $n$ 边形的一边, 其长度记为 $a_n$, 又设 $B$ 是 $\widehat{A_1 A_2}$ 的中点, 那么, $\widehat{A_1 B}$ 就是圆内接正 $2 n$ 边形的一
 ![图片](/uploads/2024-09/937f44.jpg)
 边, 其边长记为 $a_{2 n}$, 于是,

$$
\begin{aligned}
& a_{2 n}=\overline{A_1 B}=\sqrt{{\overline{A_1 D}}^2+\overline{D B}^2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{\bar{A}_1 D^2+\left(\overline{O B}-\sqrt{{\overline{O A_1}}^2-{\overline{A_1 D}}^2}\right)^2} \\
& =\sqrt{{\overline{A_1 D}}^2+\left(1-\sqrt{1-{\overline{A_1 D}}^2}\right)^2} \\
& =\sqrt{2-2 \sqrt{1-{\overline{A_1 D}}^2}}=\sqrt{2-2 \sqrt{1-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2}} \\
& =\sqrt{2} \sqrt{1-\sqrt{1-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2}}
\end{aligned}
$$

$a_4=\sqrt{2}$, 代人上面公式可得:

$$
a_8=0.7653668, \quad a_{16}=0.3901804, \qua

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