最后更新: 2024-12-09 17:34 ● 参与者查看: 28 次纠错分享参与项目词条搜索

圆周的周长与面积

##  圆的周长和面积

由于圆被 $n$ 等分后, 顺次连结各分点, 便得到一个 $n$ 边形, 如果再把这 $n$段弧的中点取出来, 圆上便出现了 $2 n$ 个分点, 而顺次连结这个 $2 n$ 分点所得到的正 $2 n$ 边形, 便包围着原来的正 $n$ 边形 (图4.82), 那么, 这个正 $2 n$ 边形的周长和面积都比原来的正 $n$ 边形的周长和面积大, 如此下去, 我们还可继续得出圆内接正 $4 n$ 边形、正 $8 n$ 边形 $\cdots \cdots$ 我们可以看到这样的圆的内接正 $n 、 2 n$ 、 $4 n 、 8 n 、 \cdots \cdots$ 边形的边数越增长, 它们的周长和面积就越逼近圆的周长和面积.这样一来, 当已知圆的半径时, 我们便可计算它的内接正 $n 、 2 n 、 4 n 、 8 n 、 \cdots \cdots$边形的周长和面积, 作为精确度不同的圆周长和圆面积的近似值.

现在我们来举例说明, 半径是一个单位长的圆内接正 $4 、 8 、 16 、 32 、 64$ 边形的周长的计算方法.

如图 4.82, 设 $\overline{A_1 A_2}$ 是半径为 1 个单位长的圆内接正 $n$ 边形的一边, 其长度记为 $a_n$, 又设 $B$ 是 $\widehat{A_1 A_2}$ 的中点, 那么, $\widehat{A_1 B}$ 就是圆内接正 $2 n$ 边形的一
 ![图片](/uploads/2024-09/937f44.jpg)
 边, 其边长记为 $a_{2 n}$, 于是,

$$
\begin{aligned}
& a_{2 n}=\overline{A_1 B}=\sqrt{{\overline{A_1 D}}^2+\overline{D B}^2}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{\bar{A}_1 D^2+\left(\overline{O B}-\sqrt{{\overline{O A_1}}^2-{\overline{A_1 D}}^2}\right)^2} \\
& =\sqrt{{\overline{A_1 D}}^2+\left(1-\sqrt{1-{\overline{A_1 D}}^2}\right)^2} \\
& =\sqrt{2-2 \sqrt{1-{\overline{A_1 D}}^2}}=\sqrt{2-2 \sqrt{1-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2}} \\
& =\sqrt{2} \sqrt{1-\sqrt{1-\left(\frac{a_n}{2}\right)^2}}
\end{aligned}
$$

$a_4=\sqrt{2}$, 代人上面公式可得:

$$
a_8=0.7653668, \quad a_{16}=0.3901804, \quad a_{32}=0.1960339, \quad a_{64}=0.098135
$$

设 $\ell_n$ 是半径为 1 个单位长的圆内接正 $n$ 边形的周长, 则可算出:

$$
\begin{gathered}
\ell_4=5.6568542, \quad \ell_8=6.1229344, \quad \ell_{16}=6.2428864 \\
\ell_{32}=6.2730848, \quad \ell_{64}=-6.2806426
\end{gathered}
$$

现在我们再来计算 $\ell_n$ 与直径长的比值.

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\ell_4}{2}=2.8284271, & \frac{\ell_8}{2}=3.0614672 \\
\frac{\ell_{16}}{2}=3.121443, & \frac{\ell_{32}}{2}=3.1365424
\end{array}
$$

$$
\frac{\ell_{64}}{2}=3.1403213
$$

我们看到这些比值, 随着 $n$ 的增加, 就会愈来愈逼近圆周长与直径的比值.对任何圆来说, 圆周长与直径长的比是一个常数, 这个常数就是圆周率 $\pi$. 我们用上述方法就能任意精确地算出 $\pi$ 的近似值. 圆周率 $\pi$ 的精确值是一个永远写不完的无限不循环小数。

$$
\pi=3.14159265358979323846 \cdots
$$

应用时常根据实际需要取 $\pi$ 的近似值.
我国古代的数学家对于圆周率的研究有很大的贡献。三国魏时刘徽就用我们上面的计算方法，从圆内接正六边形开始一直算到圆内接正 192 边形，得出 $\pi=3.14$. 刘徽是世界上计算 $\pi$ 的值精确到 0.01 的第一人. 继他以后, 南北朝时的祖冲之算出 $\pi$ 值，在 3.1415926 和 3.1415927 之间并且用分数 $22 / 7$ 和 $355 / 113$ 来表示 $\pi$ 的近似值。这两个分数分别叫做约率和密率。祖冲之的密率直到一千多年后，才为欧洲人鄂图和安托尼兹所知。

如果圆周长用 $C$ 表示, 半径用 $r$ 表示, 那么, 从 $\frac{C}{2 r}=\pi$, 就可推出下面的圆周长公式

$$
C=2 \pi r
$$

在半径为 $r$ 的圆上（图 4.83），

$$
1^{\circ} \text { 弧的长 }=\frac{\text { 周长 }}{360}=\frac{2 \pi r}{360}=\frac{\pi r}{180}
$$

由此，我们可得到计算 $n^{\circ}$ 弧的弧长公式

$$
\ell=\frac{n \pi r}{180}
$$

这里 $\ell$ 表示弧长, $n$ 是弧所含的度数.
我们已经知道圆的面积公式

$$
S=\pi r^2
$$
这里 $S$ 表示圆的面积, $r$ 仍表示圆的半径.
这个公式的来源, 我们可作如下说明.
如图 4.83, $\overline{A_1 A_2}$ 是圆内接正 $n$ 边形的一边, 如果它的周长是 $\ell_n$, 边心距是 $d_n$, 那么, 这个正多边形的面积

$$
S_n=\frac{1}{2} \ell_n d_n
$$

当这个圆的内接正多边形的边数 $n$ 无限增加时, 它的面积 $S_n$ 逼近于圆的面积 $S$; 它的周长 $\ell_n$ 逼近于圆周长 $C$, 它的边心距 $d_n$ 逼近于圆的半径 $r$. 因此, 有

$$
S=\frac{1}{2} C r=\frac{1}{2} \times 2 \pi r \times r=\pi r^2
$$

一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形, 叫做扇形 (图 4.84 的阴影部分).

![图片](/uploads/2024-09/ccdc9b.jpg)
 
 由圆的面积公式, 我们可得到扇形面积公式, 因为,

$$
\text { 含有 } 1^{\circ} \text { 弧的扇形面积 }=\frac{\text { 圆面积 }}{360}
$$

所以圆心角是 $n^{\circ}$ 的扇形面积计算公式是:

$$
S=\frac{n \pi r^2}{360}
$$

这里 $S$ 是扇形面积, $n$ 是扇形的圆心角的度数, $r$ 是圆的半径.
由于

$$
\frac{n \pi r^2}{360}=\frac{1}{2}\left(\frac{n \pi r}{360}\right) \cdot r
$$

而 $\frac{n \pi r}{180}$ 是扇形的弧长 $\ell$, 所以, 当知道扇形弧长 $\ell$ 时, 扇形面积公式又可写成:

$$
S=\frac{1}{2} \ell r
$$

这就是说，扇形的面积等于它的弧长和半径乘积的一半.
例 4.30 第一次测定地球半径的是公元前三世纪的希腊天文学家爱拉托斯芬.他在夏至这一天，当太阳在塞伊城的天顶（ $S$ ）时（图 4.85），而在亚历山大城 (A)，测得太阳与天顶的方向差是 $7.2^{\circ}$ 。他由塞伊城和亚历山大城的实际距离 $\overparen{A S}$ 算出了地球的半径, 问爱拉托斯芬怎样算出地球半径 $r$ 的?
 ![图片](/uploads/2024-09/47ef48.jpg)
 
 解：塞伊城和亚历山大城是在同一条子午线 $\overparen{A S}$ 上，若地球的截面是圆形地心是 $O$, 太阳的光线是平行的, 则 $\angle A O S=7.2^{\circ}$.

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \overparen{A S} \text { 的弧长 }=\frac{7.2 \times \pi \times r}{180} \\
& \therefore \quad r=\frac{180}{7.2 \times \pi} \times \overparen{A S}
\end{aligned}
$$

把 $\overparen{A S}$ 的长度代人上式, 就可算出地球的半径.
例 4.31 已知扇形的半径 $r \approx 4.8 \mathrm{~cm}$, 所含的圆心角是 $42^{\circ}$, 求它的周长和面积 $(\pi \approx 3.14)$.

解: 设扇形的弧长为 $\ell$, 则:

$$
\ell=\frac{42 \times 3.14 \times 4.8}{180} \approx 3.5(\mathrm{~cm})
$$

$\therefore \quad$ 扇形的周长 $=2 r+\ell=2 \times 4.8+3.5=13.1(\mathrm{~cm})$.
扇形的面积 $=\frac{1}{2} \ell r=\frac{1}{2} \times 3.5 \times 4.8 \approx 8.4\left(\mathrm{~cm}^2\right)$
答：扇形周长约是 13.1 cm , 面积约为 $8.4 \mathrm{~cm}^2$.

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