圆周角与圆的周长和面积

## 圆周角定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角，

![图片](/uploads/2023-10/9f6ca3.jpg){width=200px}

**圆周角的性质**

1.同弧或等弧所对的圆周角相等, 如下图动画所演示。

![09.gif](/uploads/2023-10/7659cb.gif){width=200px}

**推论1**：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径

**推论2**：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。这两个推论是判定直角或直角三角形的又一依据，为在圆中确定直角，构造垂直关系，创造了条件，因此它是圆中一个很重要的性质

## 圆心角定义

圆心角，指顶点在圆心上的角，因为顶点在圆心上，所以角的两边与圆的半径共直线

![图片](/uploads/2023-10/c1e795.svg){width=200px}

## 定理

圆周角为圆心角的 $ \dfrac{1}{2}$

![图片](/uploads/2023-10/8ec35f.svg){width=300px}

**证明：**
如下图
弧$AB$ 对应的圆心角为 $\theta$, 对应的圆周角为 $\psi $
![图片](/uploads/2023-10/16960d.svg)

连接$OA$, 因为 $OV=OA=r$ （圆的半径），所以, $\triangle AOV $ 是等腰三角形
$\therefore  2\psi =\theta  $ （三角形外角和定理。）

**弧长**
 ![图片](/uploads/2023-11/image_20231106d0d650b.png)
在半径为 $R$ 的圆中, 因为 $360^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长就是圆周长 $C=2 \pi R$, 所以 $1^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长是 $\frac{2 \pi R}{360}$, 即 $\frac{\pi R}{180}$. 于是 $n^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为

$$
l=\frac{n \pi R}{180}
$$

**面积**

在半径为 $R$ 的圆中, 因为 $360^{\circ}$ 的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积 $S=\pi R^2$, 所以圆心角是 $1^{\circ}$ 的扇形面积是 $\frac{\pi R^2}{360}$. 于是圆心角为 $n^{\circ}$ 的扇形面积是

$$
S_{\text {扇形 }}=\frac{n \pi R^2}{360} \text {. }

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