最后更新: 2024-12-09 17:29 ● 参与者查看: 75 次纠错分享参与项目词条搜索

*弦切角

顶点在圆上, 一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫做弦切角.
如图 4.55, $\angle A B C$ 就是弦切角, 顶点 $B$ 在圆上, 一边 $B C$ 与圆相切于 $B$点, 另一边还与圆相交于 $A$ 点, $\widehat{A m B}$ 叫做弦切角 $\angle A B C$ 所夹的弧.

弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
已知： $\angle A B C$ 是 $\odot O$ 的弦切角 (图4.55). 边 $\overline{B C}$ 与 $\odot O$ 相切, 边 $\overline{B A}$与 $\odot O$ 相交于 $A$ 点.

求证: $\angle A B C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数.证明: 过 $B$ 点作 $\odot O$ 的直径 $\overline{B D}$, 作弦 $\overline{A D}$. 由于直径上的圆周角是直角,

$$
\therefore \quad \angle B A D=90^{\circ}, \quad \angle A D B=90^{\circ}-\angle A B D
$$

![图片](/uploads/2024-12/a6856f.jpg)
 
 $\because B C$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \overline{O B} \perp B C, \quad \angle A B C=90^{\circ}-\angle A B D, \quad \angle A B C=\angle A D B$
$\because \angle A D B$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数 (圆周角定理)
$\therefore \angle A B C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数.
由弦切角定理与圆周角定理又可得到：
推论
弦切角等于它所夹弧上的圆周角.
例 4.17 已知：如图 4.56, $\overline{A B}$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $A C$ 是一条射线, 且 $\angle B A C=$ $\frac{1}{2} \widehat{A B}$ 的度数。

求证： AC 切 $\odot O$ 于 $A$.
证明：作直径 $\overline{A D}$. 由于：
$\angle B A C=\frac{1}{2} \widehat{A B}$ 的度数
(已知)

$\angle A D B=\frac{1}{2} \widehat{A B}$ 的度数
(圆周角定理)

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle B A C=\angle A D B . \\
\because & \angle A B D=90^{\circ} \text { (圆周角定理推论 2) } \\
\therefore & \angle A D B+\angle B A D=90^{\circ}, \quad \angle B A C+\angle B A D=90^{\circ}
\end{array}
$$

于是, $A C \perp A D$ 于 $A$ 点,
$\therefore \quad A C$ 切 $\odot O$ 于 $A$ 点 (切线判定定理).
例 4.17 所证结论说明了：弦切角定理的逆定理是成立的. 这就是说，一个角的顶点在圆周上且等于它所夹弧的度数的一半，不仅是这个角为弦切角的必要条件, 同时也是这个角为弦切角的充分条件.
 ![图片](/uploads/2024-12/afeedc.jpg)
 
 例 4.18 在已知线段上，作含有已知圆周角的弧：
已知： $\overline{A B}$ 和 $\angle \alpha$ （图4.57）。
求作：以 $A 、 B$ 两点为端点的弧，使它所含的圆周角等于 $\angle \alpha$.
分析: 假定 $\widehat{A m B}$ 是所求作的弧 (图 4.57), 作切线 $A C$, 就有 $\angle B A C=\angle \alpha$,因为圆心 $O$ 在 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 $D E$ 上, 又在 $A C$ 的垂线 $A F$ 上, 所以圆心 $O$ 是 $D E$ 和 $A F$ 的交点. 于是得作法如下:
1. 作 $\angle B A C=\angle \alpha$,
2. 作 $\overline{A B}$ 的垂直平分线 $D E$,
3. 作 $A F \perp A C$ 交 $D E$ 于 $O$,
4. 以 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径画 $\widehat{A m B}$, 使 $\widehat{A m B}$ 和 $A C$ 在 $\overline{A B}$ 的两旁, $\widehat{A m B}$就是所求作的弧.

证明: $\because \quad A C \perp O A$ 于 $A$ 点,
$\therefore A C$ 是 $\odot O$ 的切线, $\angle B A C$ 是弦切角.
$\widehat{A m B}$ 所含的圆周角 $=\angle B A C=\angle \alpha$ (弦切角定理的推论).
因此， $\widehat{A m B}$ 就是所求作的弧。
讨论：图 4.57 中所作的 $\widehat{A m B}$ 在 $\overline{A B}$ 的上方，我们还可以在 $\overline{A B}$ 的下方作出另一条 $\widehat{A m^{\prime} B}$ (图 4.58), 使 $\widehat{A m^{\prime} B}$ 所含的圆周角也等于 $\angle \alpha$. 因此, 所求作的弧有两条。

例4.19 已知：两圆外切于 $A$ 点，过 $A$ 作二条直线，一条与两圆相交于 $C 、 D$两点，另一条与两圆相交于 $E 、 F$ 两点（图4.59）.

求证： $C E / / F D$ 。
 ![图片](/uploads/2024-12/3cf5af.jpg)
 证明：过 $A$ 引两圆的公切线 $M N$,
$\because \quad \angle A C E=\angle E A N, \angle F D A=\angle F A M$ (弦切角定理的推论),
又 $\because \quad \angle E A N=\angle F A M$,
$\therefore \quad \angle A C E=\angle F D A, \quad C E / / F D$

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