最后更新: 2026-04-05 06:38 查看: 419 次纠错评论(0) 课件开VIP

圆的切线★★★★★

## 圆的切线
定义：一条直线与圆只有一个交点式，称作这条直线与圆**相切**，相交点称作**切点**。

圆的切线有2个核心的性质：（1）判断圆的切线和（2）如果是圆的切线有什么性质。因此有下面2个定理。

> **切线判定定理** 经过圆的半径外端，并且垂直这条半径的直线是这圆的切线．
**切线性质定理** 圆的切线垂直于经过切点的半径．

这就是说，＂一条直线经过半径外端且垂直于半径＂为这条直线是圆的切线的充分条件，反过来可证条件也是必要的． 这2个定理很像，但是目的正好相反，判断定理是让我们判断他是不是圆的切线，而性质定理是如果是圆的切线，他有什么性质。

`例`已知：直线 $A B$ 与 $\odot O$ 相切于 $C$ 点（图 4．29）．
求证：$A B \perp \overline{O C}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/522c6f.jpg){width=250px}
 
 证明：假设 $A B$ 和 $\overline{O C}$ 不垂直，自圆心 $O$ 引 $\overline{O D} \perp A B$ 于 $D$ 点，在 $A B$ 上取 $\overline{D C^{\prime}}=\overline{D C}$ ，且使 $D$ 点在 $C$ 与 $C^{\prime}$ 之间，于是 $O D$ 垂直平分 $\overline{C C^{\prime}}, \overline{O C^{\prime}}=\overline{O C}$ ．
$\because C$ 点是切点，$\overline{O C}$ 是 $O$ 的半径．
$\therefore \overline{O C^{\prime}}$ 是 $O$ 的半径，$C^{\prime}$ 点也在 $\odot O$ 上．
这就是说，直线 $A B$ 和 $\odot O$ 有了两个公共点 $C$ 和 $C^{\prime}$ ，但这与 $A B$ 是圆的切线，即 $A B$ 和 $\odot O$ 只有一个公共点相矛盾，

$$
\therefore \quad A B \perp \overline{O C} .
$$

在图 4.30 中，经过半径 $\overline{O A}$ 的端点 $A$ ，作与 $\overline{O A}$ 不垂直的任一条直线 $A B$ ，由上面的证明可知：这条直线和圆不能只有一个公共点，还必须有另一个交点 $A^{\prime}$ ．这就是说，直线 $A B$ 和 $\odot O$ 有了两个公共点．

![图片](/uploads/2026-04/e8f5e4.jpg){width=250px}
 
如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆**相交**，这条直线叫做这个圆的**割线**，这两个公共点叫做它们的交点．

一条直线和一个圆如果有公共点，那么，它们的公共点是不能多于两个的，因此，直线和圆的位置关系只能有相离、相切和相交三种关系．

`例` 如图24－45，点 $P$ 为 $\odot O$ 上任一点，过点 $P$ 作直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切．

![图片](/uploads/2026-04/c8df0e.jpg){width=250px}
 
 作法
1．连接 $O P$ ．
2．过点 $P$ 作直线 $l \perp O P$ ．
则直线 $l$ 即为所作．

为什么直线 $l$ 即为所作呢？
由作图可知，直线 $l$ 与 $\odot O$ 有一个公共点 $P$ ，若取直线 $l$上除点 $P$ 之外任一点 $Q$ ，连接 $O Q$ ，则 $O Q>O P$（斜线大于垂线），所以点 $Q$ 在圆外．因此，直线 $l$ 与 $\odot O$ 只有一个公共点，故直线 $l$ 为 $\odot O$ 的切线．

于是可得：
切线判定定理 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

`例` 已知：如图 24－46，$\angle A B C=45^{\circ}, A B$ 是 $\odot O$ 的直径，$A B=A C$ ．

![图片](/uploads/2026-04/eb1c1a.jpg){width=250px}
 
 
求证：$A C$ 是 $\odot O$ 的切线．
证明 $\because A B=A C, \angle A B C=45^{\circ}$ ，

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & \angle A C B=\angle A B C=45^{\circ} . \\
\therefore & \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B C-\angle A C B=90^{\circ} . \\
\because & A B \text { 是 } \odot O \text { 的直径, } \\
\therefore & A C \text { 是 } \odot O \text { 的切线. }
\end{array}
$$

`例`已知：如图 22－6，$A B$ 为 $\odot O$ 的直径，$A B=1 cm, B C=\sqrt{2} cm$ ， $A C=1 cm$ ．判断直线 $A C$ 与 $\odot O$ 是否相切，并说明理由．

![图片](/uploads/2025-06/009367.jpg){width=200px}

解：直线 $A C$ 与 $\odot O$ 相切．
理由如下：

$$
\begin{aligned}
& \because A B=1, B C=\sqrt{2}, A C=1, \\
& \therefore A B^2+A C^2=B C^2 . \\
& \therefore \quad \triangle A B C \text { 为直角三角形, } \angle B A C=90^{\circ} . \\
& \because \quad A B \text { 为 } \odot O \text { 的直径, } \\
& \therefore \quad \text { 直线 } A C \text { 经过 } \odot O \text { 半径的外端 } A . \\
& \therefore \quad \text { 直线 } A C \text { 与 } \odot O \text { 相切, } A \text { 为切点. }
\end{aligned}
$$

`例` 已知：如图 22－9，$A B$ 为半圆 $O$ 的直径，$C D$ 为半圆 $O$ 的一条切线，$C$ 为切点，$A D \perp C D$ ，垂足为 $D$ ．

![图片](/uploads/2025-06/031848.jpg){width=250px}
 
 
求证：$A C$ 平分 $\angle D A B$ ．
证明：连接 $O C$ ．
$\because C D$ 是 $\odot O$ 的切线，切点为 $C$ ，

$$
\begin{array}{ll}
\therefore & O C \perp C D . \\
\because & A D \perp C D, \\
\therefore & O C / / A D . \\
\therefore & \angle 2=\angle 3 . \\
\because & O A=O C, \\
\therefore & \angle 1=\angle 3 . \\
\therefore & \angle 1=\angle 2 .
\end{array}
$$

即 $A C$ 平分 $\angle D A B$ ．

## 尺规作图：圆外一点如何做切线

`例`  已知：$P$ 点在已知 $\odot O$ 外（图 4．33）．
求作：经过 $P$ 点的 $\odot O$ 的切线．
作法
1．作 $\overline{O P}$
2．以 $\overline{O P}$ 的中点 $C$ 为圆心，以 $\overline{C O}$ 为半径作 $\odot C$ 交 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点；
3．作直线 $P A 、 P B$ ，则 $P A 、 P B$ 就是所求作的切线．

![图片](/uploads/2026-04/12cb5a.jpg){WIDTH=250PX}
 
 证明：作 $\overline{O A} 、 \overline{C A}$ ．

$$
\begin{array}{ll}
\because & \overline{C A}=\overline{C O}=\overline{C P}, \\
\therefore & \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4 . \\
\because & \angle 1+\angle 3+\angle 2+\angle 4=180^{\circ}, \\
\therefore & \angle 1+\angle 3=90^{\circ}, \text { 即 } O A \perp P A, P A \text { 是 } \odot O \text { 的切线 (切线判定定理). }
\end{array}
$$

同理可证 $P B$ 也是所求作的切线．
另外，在直角 $\triangle P O A$ 和直角 $\triangle P O B$ 中，

$$
\begin{aligned}
& \because \overline{O A}=\overline{O B}, \quad \overline{P O}=\overline{P O} . \\
& \therefore \quad \triangle P O A \cong \triangle P O B, \quad \overline{P A}=\overline{P B} .
\end{aligned}
$$

如果 $\overline{P A}, \overline{P B}$ 的长叫做 $P$ 点到圆的切线长，那么我们就可得到下面的定理：

**切线长定理** 从圆外一个已知点到圆的两条切线的长相等
 以 $\triangle P O A \cong \triangle P O B$ ，还可推出 $\angle A P O=\angle B P O$ ，因此又可得出：
**定理** 连结圆外一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

## 切线长定理
如图 22-10，过 $\odot O$ 外的一点 $P$ 可以画圆的两条切线 $P A$ 和 $P B$ ，切点分别为 $A, B$ ．可以证明 $\triangle A O P \cong \triangle B O P$ ．因此， $P A=P B, \angle A P O=\angle B P O$ 。

> **切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角**．

![图片](/uploads/2025-06/f7877c.jpg){WIDTH=250PX}
 
 
 `例`已知：如图 24－49，四边形 $A B C D$ 的边 $A B, B C$ ， $C D, D A$ 和 $\odot O$ 分别相切于点 $E, F, G, H$ ．
求证：$A B+C D=D A+B C$ ．

![图片](/uploads/2026-04/559eaf.jpg){WIDTH=250PX}

证明 $\quad \because \quad A B, B C, C D, D A$ 都与 $\odot O$ 相切，$E, F, G, H$是切点，

$$
\therefore \quad A E=A H, B E=B F, C G=C F, D G=D H .
$$

`例`如图 22-11（1），一段圆柱形钢材放在 V 形支架中．图 22-11（2）是它的截面示意图，$C A$ 和 $C B$ 都是 $\odot O$ 的切线，切点分别是 $A, B . \odot O$ 的半径为 $2 \sqrt{3} cm, A B=6 cm$ ． 
求 $\angle A C B$ 的度数．
 ![图片](/uploads/2025-06/660ef5.jpg)
 
 解：如图 22-11（2），连接 $O C$ ，交 $A B$ 于点 $D$ ．
$\because C A, C B$ 都是 $\odot O$ 的切线，切点分别是 $A, B$ ，
$\therefore C A=C B, C O$ 平分 $\angle A C B$ ．
$\therefore \quad O C \perp A B, B D=\frac{1}{2} A B$.

$$
\begin{array}{ll}
\because & A B=6, \\
\therefore & B D=3 . \\
\because & \text { 在 } \triangle O B D \text { 中, } \angle O D B=90^{\circ}, O B=2 \sqrt{3} \\
\therefore & \sin \angle B O D=\frac{B D}{O B}=\frac{3}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} . \\
\therefore & \angle B O D=60^{\circ} . \\
\because & C B \text { 是 } \odot O \text { 的切线, } B \text { 为切点, } \\
\therefore & O B \perp B C . \\
\therefore & \angle O C B=30^{\circ} . \\
\therefore & \angle A C B=2 \angle O C B=60^{\circ} .
\end{array}
$$

`例`如图，$A C$ 是 $\odot O$ 的切线，$B$ 为切点，连接 $O A, O C$ ．若 $\angle A=30^{\circ}, A B= 2 \sqrt{3}, B C=3$ ，则 $O C$ 的长度是
 ![图片](/uploads/2026-04/c39210.jpg)
 
解析  连接 $O B, \because A C$ 是 $\odot O$ 的切线，$B$ 为切点，$\therefore O B \perp A C$ ，
在 Rt $\triangle A O B$ 中，$\because \angle A=30^{\circ}, A B=2 \sqrt{3}$ ，
$\therefore O B=A B \cdot \tan 30^{\circ}=2$ ，
在 Rt $\triangle O B C$ 中，$O B^2+B C^2=O C^2$ ，
$\therefore O C^2=2^2+3^2=13$ ，解得 $O C=\sqrt{13}$（舍负），故 $O C$ 的长度是 $\sqrt{13}$ ．

`例`如图，$A B$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$ 为切点，连接 $O A$ ，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，$O C \perp O A$ ，连接 $B C$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $O D$ ，若 $\angle B=65^{\circ}$ ，则 $\angle D O C$ 的度数为

![图片](/uploads/2026-04/f307f6.jpg)
 
 解：
$\because A B \text { 是 } \odot O \text { 的切线，} A \text { 为切点，}$
$$
\begin{aligned}
& \therefore O A \perp A B, \because O C \perp O A, \therefore A B / / O C, \\
& \therefore \angle O C D=\angle B=65^{\circ}, \\
& \because O C=O D, \\
& \therefore \angle O C D=\angle O D C=65^{\circ}, \\
& \therefore \angle D O C=180^{\circ}-65^{\circ}-65^{\circ}=50^{\circ}, \text { 故选B. }
\end{aligned}
$$

`例`如图，$A B$ 为 $\odot O$ 的直径，如果圆上的点 $D$ 恰使 $\angle A D C=\angle B$ ，求证：直线 $C D$ 与 $\odot O$ 相切．

![图片](/uploads/2026-04/313ddb.jpg)
 
 证明 连接 $O D$ ，

$$
\because O A=O D, \therefore \angle A=\angle O D A \text {, }
$$

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径，

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A D B=90^{\circ}, \therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}, \\
& \because \angle A D C=\angle B, \\
& \therefore \angle O D A+\angle A D C=90^{\circ},
\end{aligned}
$$

即 $\angle C D O=90^{\circ}$ ，

$$
\therefore C D \perp O D,
$$

$\because O D$ 是 $\odot O$ 的半径，
∴ 直线 $C D$ 与 $\odot O$ 相切．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：直线与圆的位置关系

下一篇：三角形的内切圆★★★★★

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)