最后更新: 2025-04-14 09:38 查看: 73 次反馈刷题

圆幂定理

## 切制线定理
过圆外一点作圆的切线和割线, 这点到割线两交点间的距离的乘积等于这点到切点的距离的平方.

已知： $P$ 为 $\odot O$ 外一点，直线 $P T$ 与 $\odot O$ 相切于 $T$ 点，割线 $P A B$ 与 $\odot O$相交于 $A 、 B$ 两点（图4.60）。

求证: $\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2$.
证明: 作弦 $\overline{A T} 、 \overline{B T}$, 在 $\triangle P A T$ 和 $\triangle P T B$ 中,
$\because \quad \angle P$ 是公共角, $\angle A T P=\angle T B P$ (弦切角定理的推论),
$\therefore \quad \triangle P A T \backsim \triangle P T B, \quad \overline{\overline{P A}}=\frac{\overline{P T}}{\overline{P B}}$
$\therefore \quad \overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2$.
相交弦定理
圆内两条相交弦中，每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等.
如图 4.61, $\odot O$ 的两条弦 $\overline{A B} 、 \overline{C D}$ 相交于 $P$, 则 $\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P C} \cdot \overline{P D}$ (请同学自己完成证明).
 ![图片](/uploads/2024-12/330d16.jpg)
 
 让我们观察图 4.62 与图 4.63, 由切割线定理和相交弦定理, 不难看出不论 $P$ 点在圆内或圆外, 通过它的任一条圆的割线交圆于 $A 、 B$ 两点, 只要 $P$点的位置定了, 则乘积 $\overline{P A} \cdot \overline{P B}$ 都是定值.

设定值为 $k$, 当 $P$ 点在圆外时 (图 4.62), 由切割线定理知.
$k=\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2=\overline{P O}^2-r^2 \quad(r$ 是 $\odot O$ 的半径）
当 $P$ 点在圆内时（图 4.63）, 过 $P$ 点作弦 $\overline{E F} \perp O P$, 则:

$$
k=\overline{P E} \cdot \overline{P F}=\overline{P E}^2=r^2-\overline{O P}^2
$$

$k$ 叫做点 $P$ 对于圆的幂, $P$ 点若在圆上, 显然 $k=0$, 总结以上讨论, 我们可以得到：

## 圆幂定理
已知 $\odot(O, r)$, 通过一定点 $P$, 作任一条圆的割线交圆于 $A 、 B$ 两点, 则

$$
\overline{P A} \cdot \overline{P B}=k
$$

其中： $k$ 为定值.
 
1. 当 $P$ 点在圆外时, $k=\overline{P O}^2-r^2$,
2. 当 $P$ 点在圆内时, $k=r^2-\overline{P O}^2$,
3. 当 $P$ 点在圆上时, $k=0$.

例 4.20 求证: 相交两圆的公共弦的延长线上一点, 到两圆的切线长相等.
已知：如图 4.64, $\odot O$ 与 $\odot O^{\prime}$ 相交于 $A 、 B, P$ 是 $\overline{B A}$ 延长线上任一点, $P C, P C^{\prime}$ 分别和 $\odot O$ 和 $\odot O^{\prime}$ 相切于 $C 、 C^{\prime}$.

求证: $\overline{P C}=\overline{P C^{\prime}}$
证明: $\because \quad P C$ 和 $\odot O$ 相切于 $C$ 点, $P A B$ 是 $\odot O$ 的割线
$\therefore \overline{P C}^2=\overline{P A} \cdot \overline{P B}$ (切割线定理).
同理， $\overline{P C^{\prime 2}}=\overline{P A} \cdot \overline{P B}$
$\therefore \overline{P C}^2={\overline{P C^{\prime}}}^2, \quad \overline{P C}=\overline{P C^{\prime}}$.
 ![图片](/uploads/2024-12/ce063b.jpg)
 
 例 4.21 如图 4.65. $\overline{A B}$ 是 $\odot O$ 的弦, $D$ 是 $\overline{A B}$ 的中点, $C D \perp \overline{A B}$ 和 $\odot O$ 相交于 $C$, 已知 $\overline{A B}=12 cm, \overline{C D}=3 cm$, 求 $\odot O$ 的半径 $r$.

解: 延长 $C D$ 交 $\odot O$ 于 $E$, 则 $\overline{C E}$ 为 $\odot O$ 的直径, 由相交弦定理有:

$$
\overline{D A} \cdot \overline{D B}=\overline{D C} \cdot \overline{D E}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \overline{D C}=3 cm, \quad \overline{D E}=(2 r-3) cm, \quad \overline{D A}=\overline{D B}=6 cm, \\
& \therefore \quad 6 \times 6=3(2 r-3) .
\end{aligned}
$$

解方程，得 $r=4 \frac{1}{2}$.
答： $\odot O$ 的半径等于 4.5 cm .

例 4.22 已知两条线段 $a 、 b$, 求作一条线段 $x$, 使 $x$ 为 $a 、 b$ 的比例中项, 即 $x^2=a \cdot b$ 。

作法（图4.66）
1. 作 $\overline{A P}=a$,
2. 延长 $\overline{A P}$ 到 $B$, 使 $\overline{P B}=b$.
3. 以 $\overline{A B}$ 为直径作半圆.
4. 过 $P$ 点作 $\overline{A B}$ 的垂线 $P C$ 交半圆于 $C$ 点, 则 $\overline{P C}$ 就是所求作的线段 $x$.
 ![图片](/uploads/2024-12/c9c416.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
&\text { 证明：由圆幂定理有： }\\
&\begin{aligned}
& \quad \quad \overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{O C}^2-\overline{O P}^2=\overline{P C}^2 \\
& \because \quad \\
& \therefore \quad \overline{P A}=a, \overline{P B}=b \text { (作图) } \\
& \therefore \quad \overline{P C}^2=a \cdot b, \overline{P C} \text { 就是所求作的线段 } x .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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