最后更新: 2024-12-09 17:29 ● 参与者查看: 35 次纠错分享参与项目词条搜索

*圆的内接四边形

我们知道, 每一个三角形都有一个外接圆, 现在我们要问是否每一个四边形都有一个外接圆呢？答案是很明显的，并不是每个四边形都有一个外接圆，这个事实, 同学们可自己举例说明. 下面我们来学习四边形内接于圆的条件, 几个点在同一圆上，我们常说这几点共圆。

定理
四边形的四个顶点共圆的充分必要条件是四边形的内对角互补.
（一）必要性
已知: 四边形 $A B C D$ 的四个顶点共圆.
求证: $\angle A+\angle C=180^{\circ}, \angle B+\angle D=180^{\circ}$
证明：由圆周角定理，

$$
\begin{aligned}
(\angle A+\angle C) \text { 的度数 } & =\angle A \text { 的度数 }+\angle C \text { 的度数 } \\
& =\frac{1}{2}(\widehat{B C D} \text { 的度数 }+\widehat{B A D} \text { 的度数 }) \\
& \left.=\frac{1}{2} \text { (周角的度数 }\right) \\
& =\frac{1}{2} \times 360^{\circ}=180^{\circ}
\end{aligned}
$$

同理可证: $\angle B+\angle D=180^{\circ}$.
 ![图片](/uploads/2024-12/d51305.jpg)
 
 （二）充分性
已知: 四边形 $A B C D$, 且 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$.
求证： $A 、 B 、 C 、 D$ 共圆
证明：由于 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$,
$\therefore \angle B<180^{\circ}$
$A 、 B 、 C$ 三点不在同一条直线上, 于是有 $\odot O$ 通过 $A 、 B 、 C$ 三点（图 4.68 ），如果 $D$ 点不在 $\odot O$ 上，那么只有下面两种可能：
1. $D$ 点在 $\odot O$ 内, 延长对角线 $\overline{B D}$ 与 $\odot O$ 相交于 $D_1$ 点, 于是, $\angle A D C>$ $\angle A D_1 C$. 但 $\angle A D_1 C+\angle B=180^{\circ}$
$\therefore \angle A D C+\angle B>180^{\circ}$.
这与已知 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ 相矛盾, 所以 $D$ 点不能在 $\odot O$ 内.
2. $D$ 点在 $\odot O$ 外, 这时 $D_1$ 点在对角线 $\overline{B D}$ 上, 于是, $\angle A D C<\angle A D_1 C$.

但 $\angle A D_1 C+\angle B=180^{\circ}$
$\therefore \angle A D C+\angle B<180^{\circ}$.
这又与 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ 矛盾, 所以 $D$ 点不能在 $\odot O$ 外.
由 1、2 可知假设 " $D$ 不在 $\odot O$ 上" 是错误的, 因而 $D$ 必在 $\odot O$ 上, 充分性得证.

推论 1
四边形的四个顶点共圆的充分必要条件是一个外角等于其内对角.

已知四边形 $A B C D, \angle E A D$ 是它的一个外角 (图 4.69), 推论 1 要求证明:
$A, B, C, D$ 四点共圆 $\Longleftrightarrow \angle E A D=\angle C$
请同学自证这个推论.

推论 2
如果两个点在另外两个点所在直线的同旁，并且和另外两点的连线所夹的角相等，那么这四点共圆。
 ![图片](/uploads/2024-12/66cd82.jpg)
 
 已知: $C 、 D$ 两点在 $A 、 B$ 两点所在直线的同旁, 且 $\angle A C B=\angle A D B$ (图 4.70).

求证： $A 、 B 、 C 、 D$ 四点共圆.
证明：因为 $A 、 B 、 C$ 三点不在同一条直线上，经过 $A 、 B 、 C$ 三点作一圆，在此圆上取一点 $E$, 且使 $E$ 点居于 $A B$ 的另一旁, 作 $\overline{A E} 、 \overline{B E}$, 则 $A E B C$ 是圆内接四边形。
$\therefore \angle A C B+\angle E=180^{\circ}$ (圆内接四边形内对角互补)
但 $\angle A D B+\angle E=180^{\circ}$
$\therefore D$ 点在 $A 、 E 、 B 、 C$ 四点所在的圆上. $A 、 B 、 C 、 D$ 四点共圆.
例 4.23 已知 $D 、 E 、 F$ 分别是 $\triangle A B C$ 三边上的任意一点, 通过 $A 、 E 、 F$与通过 $C 、 D 、 E$ 的圆如果还相交于另一点 $G$ （图4.71(1)）。

求证： $B 、 D 、 G 、 F$ 四点共圆.
证明：由于 $A 、 E 、 G 、 F$ 与 $C 、 D 、 G 、 E$ 都共圆，
$\therefore \angle A F G=\angle G E C, \angle G E C=\angle G D B$ (推论 1)
$\therefore \quad \angle A F G=\angle G D B, B 、 D 、 G 、 F$ 四点共圆（推论 1）.
在图 4.71(2) 中，通过 $A 、 E 、 F$ 与通过 $C 、 D 、 E$ 的圆的另一个交点在 $\triangle A B C$ 外, 结论仍然成立, 请同学自证.

例 4.24 已知锐角 $\triangle A B C$ 的高 $A D 、 B E 、 C F$ 交于 $H$ 点, 作 $\triangle D E F$. 求证
1. $\overline{H A} \cdot \overline{H D}=\overline{H B} \cdot \overline{H E}=\overline{H C} \cdot \overline{H F}$.
 ![图片](/uploads/2024-12/696088.jpg)
 
 
 2. $A D 、 B E 、 C F$ 分别是 $\triangle D E F$ 的三内角平分线.
 ![图片](/uploads/2024-12/d3f672.jpg)
 
证明:
1. $\because \quad \angle A F C=90^{\circ}, \quad \angle A D C=90^{\circ}$
$\therefore \angle A F C=\angle A D C, A 、 F 、 D 、 C$ 四点共圆（推论 2）.
同理可证： $B 、 C 、 E 、 F$ 四点也共圆。
$\therefore \quad \overline{H A} \cdot \overline{H D}=\overline{H C} \cdot \overline{H F}, \overline{H C} \cdot \overline{H F}=\overline{H B} \cdot \overline{H E}$ （圆幂定理）
$\therefore \quad \overline{H A} \cdot \overline{H D}=\overline{H B} \cdot \overline{H E}=\overline{H C} \cdot \overline{H F}$
2. 在四边形 $B D H F$ 中, $\angle B D H+\angle B F H=180^{\circ}$,
$\therefore \quad B 、 D 、 H 、 F$ 四点共圆。
同理： $C 、 E 、 H 、 D$ 四点也共圆.

$\therefore \quad \angle 1=\angle 3, \angle 2=\angle 4$ (圆周角定理推论).
又 $\because \quad B 、 C 、 E 、 F$ 四点共圆，
$\therefore \angle 3=\angle 4, \angle 1=\angle 2$, 即 $A D$ 平分 $\angle F D E$.
同理可证： $C F$ 平分 $\angle D F E ; B E$ 平分 $\angle F E D$.
请同学们想想, 如果 $\triangle A B C$ 是钝角三角形或直角三角形, 这结论是否还成立？

由例 4.24 我们可看到, 当我们要论证线段与线段之间, 角与角之间的某些关系时, 利用四点共圆的充要条件会带来方便.

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