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正多边形的性质(外接圆、内切圆与对称性)

## 正多边形的外接圆和内切圆
我们已经知道, 一个**普通多边形**并不一定有外接圆和内切圆. 现在要问, 是否每一个**正多边形**都有外接圆和内切圆呢?

> 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆, 这两个圆是同心圆.

`例`已知： $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正多边形（图4.78）.
求证：它有外接圆和内切圆，且二圆同心。
 ![图片](/uploads/2024-09/3f2eec.jpg)
 证明: 首先, 过 $A_n, A_1, A_2$ 三点作一圆 $\odot O$, 再分别作 $\overline{O A_n}, \overline{O A_1}, \overline{O A_2}, \overline{O A_3}, \ldots$.显然, $\triangle D A_n A_1$ 和 $\triangle O A_1 A_2$ 都是全等的等腰三角形（SSS）.
$\therefore A_1 O$ 是 $\angle A_n A_1 A_2$ 的平分线.
又 $\because \angle A_n A_1 A_2=\angle A_1 A_2 A_3$,
$\therefore \quad \angle O A_2 A_1=\angle O A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_n A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_1 A_2 A_3$,
因此: $A_2 O$ 是 $\angle A_1 A_2 A_3$ 的平分角线, $\angle O A_2 A_1=\angle O A_2 A_3$,
又 $\because \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}, \overline{O A_2}=\overline{O A_2}$,
$\therefore \quad \triangle O A_1 A_2 \cong \triangle O A_2 A_3(\mathrm{SAS}), \overline{O A_2}=\overline{O A_3}$
这就是说 $A_3$ 在所作的 $\odot O$ 上. 循此下去, 同样可证明正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$的其它各顶点也在 $\odot O$ 上.

其次, 有了外接圆 $\odot O$, 圆心 $O$ 到各边的距离便彼此相等, 这就是说, 以 $O$ 为圆心， $O$ 到一边的距离为半径必可作一圆和各边都相切，此圆即是正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 的内切圆（图4.78）.

### 一些概念
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做**正多边形的中心**；外接圆的半径, 叫做**正多边形的半径**; 内切圆的半径, 叫做正多边形的**边心距**; 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角, 叫做正多边形的**中心角**，每个中心角都为$\frac{360^{\circ}}{n}$.

如图 4.79, $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正 $n$ 边形, $\odot(O, r)$ 是它的外接圆, $\odot\left(O, d_n\right)$是它的内切圆, $O$ 为它的中心, $r$ 是它的半径, $d_n$ 是它的边心距. 设正 $n$ 边形的边长为 $a_n$, 半径长为 $r$, 边心距为 $d_n$, 这三者有下面的勾股关系.

$$
r^2=d_n^2+\left(\frac{a_n}{2}\right)^2
$$

由于边数相同的正多边形的对应角都相等; 正多边形的各边相等, 所以边数相同的正多边形的对应边成比例. 因此, 我们可得下面的定理.
 ![图片](/uploads/2024-09/8c5320.jpg)
 
>  **定理  边数相同的正多边形都是相似形**．

> **正多边形的面积, 等于它的周长和边心距乘积的一半**.

`例`已知：正多边形的面积 $S$ ，周长是 $p$ ，边心距是 $d$.
求证: $S=\frac{1}{2} p d$
证明：如图 4.80，设 $\overline{A B}$ 是正 $n$ 边形的一边， $O$ 是这个正多边形外接圆圆心，那么

![图片](/uploads/2024-09/849e08.jpg)
 
$$
\begin{array}{ll}
&  \triangle O A B \text { 的面积 }=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \\
&  \therefore   S=\triangle O A B \text { 的面积 } \times n=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \times n \\
& \because  \overline{A B} \times n=p \\
& \therefore  S=\frac{1}{2} p d .
\end{array}
$$

`例` 已知正三角形的边长为 $a$ ．求它的外接圆半径 $r$ 和它的内切圆半径 $d$ ．

![图片](/uploads/2026-04/683e6d.jpg)
 
证明：如图 4.81，设 $O$ 是正 $\triangle A B C$ 的中心，$O M \perp \overline{A B}$ 于 $M$ ，则 $\overline{O A}=r$ ， $\overline{O M}=d, \angle O A M=\frac{1}{2} \angle C A B=30^{\circ}$

在直角三角形 $O A M$ 中，$r=2 d, \overline{A M}=\frac{a}{2}$

$$
\therefore \quad(2 d)^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2
$$

解之得：$d=\frac{\sqrt{3}}{6} a$ ．
于是，$r=2 d=\frac{\sqrt{3}}{3} a$
答：内切圆半径是 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$ ，外接圆半径是 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$ ．

## 正多边形的对称性

正多边形都是**轴对称图形**，一个正ｎ边形一共有ｎ条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心.

如果一个正多边形有偶数条边，那么它**即是轴对称图形又是中心对称图形**，它的中心就是对称中，参考下图

![图片](/uploads/2026-04/9afe99.jpg)
 
 
 `例` 求边长为 $a$ 的正六边形的周长和面积．
解 如图 24－61，过正六边形的中心 $O$ 作 $O G \perp B C$ ，垂足是 $G$ ，连接 $O B, O C$ ，设该正六边形的周长和面积分别为 $C$和 $S$ 。

![图片](/uploads/2026-04/d9e040.jpg)
 
 
∵ 多边形 $A B C D E F$ 是正六边形，
$\therefore \angle B O C=60^{\circ}, \triangle B O C$ 是等边三角形．
$\therefore \quad C=6 B C=6 a$ ．
在 $\triangle B O C$ 中，有

$$
\begin{aligned}
O G & =\frac{\sqrt{3}}{2} B C \\
& =\frac{\sqrt{3}}{2} a .
\end{aligned}
$$

$$
 \begin{aligned}
\therefore \quad S & =6 \cdot \frac{1}{2} B C \cdot O G \\
& =6 \cdot \frac{1}{2} a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a \\
& =\frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 .
\end{aligned}
$$

## 例题
`例`如果一个正多边形的中心角等于 $72^{\circ}$ ，那么这个正多边形的内角和为 
A． $360^{\circ}$
B． $540^{\circ}$
C． $720^{\circ}$
D． $900^{\circ}$
解： 根据正 $n$ 边形的每个中心角都等于 $\frac{360^{\circ}}{n}$ ，可得 $n=5$ ，所以这个正多边形的内角和为 $(5-2) \times 180^{\circ}=540^{\circ}$ ，故选 B。

`例`  已知正方形的边长为 $a$ ，其内切圆的半径为 $r$ ，外接圆的半径为 $R$ ，则 $r: R: a=$ 
A． $1: 1: \sqrt{2}$
B． $1: \sqrt{2}: 2$
C． $1: \sqrt{2}: 1$
D．$\sqrt{2}: 2: 4$

解： 如图，线段 $O A$ 的长是正方形外接圆的半径 $R$ ，线段 $O C$ 的长是正方形内切圆的半径 $r, \angle A O B$ 为正方形的中心角，$\angle A O B=\frac{360^{\circ}}{4}= 90^{\circ}, \therefore \angle A O C=45^{\circ}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/734dc3.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
& \because O A=O B, O C \perp A B, \therefore A C=\frac{1}{2} A B=\frac{a}{2} . \\
& \because \angle A O C=45^{\circ}, \therefore O C=A C=\frac{a}{2}, O A=\sqrt{2} A C=\frac{\sqrt{2}}{2} a, \\
& \therefore r: R: a=\frac{a}{2}: \frac{\sqrt{2}}{2} a: a=1: \sqrt{2}: 2, \text { 故选 B. }
\end{aligned} 
$$

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