最后更新: 2024-12-09 17:33 ● 参与者查看: 20 次纠错分享参与项目词条搜索

*正多边形的外接圆和内切圆

我们已经知道, 一个多边形并不一定有外接圆和内切圆. 现在要问, 是否每一个正多边形都有外接圆和内切圆呢?

定理
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
已知： $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正多边形（图4.78）.
求证: 它有外接圆和内切圆, 且二圆同心.
 ![图片](/uploads/2024-12/a46398.jpg)
 证明: 首先, 过 $A_n, A_1, A_2$ 三点作一圆 $\odot O$, 再分别作 $\overline{O A_n}, \overline{O A_1}, \overline{O A_2}, \overline{O A_3}, \ldots$显然， $\triangle D A_n A_1$ 和 $\triangle O A_1 A_2$ 都是全等的等腰三角形（SSS）.
$\therefore A_1 O$ 是 $\angle A_n A_1 A_2$ 的平分线.
又 $\because \angle A_n A_1 A_2=\angle A_1 A_2 A_3$,
$\therefore \quad \angle O A_2 A_1=\angle O A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_n A_1 A_2=\frac{1}{2} \angle A_1 A_2 A_3$,
因此: $A_2 O$ 是 $\angle A_1 A_2 A_3$ 的平分角线, $\angle O A_2 A_1=\angle O A_2 A_3$,
又 $\because \quad \overline{A_1 A_2}=\overline{A_2 A_3}, \quad \overline{O A_2}=\overline{O A_2}$,
$\therefore \quad \triangle O A_1 A_2 \cong \triangle O A_2 A_3$ (SAS), $\overline{O A_2}=\overline{O A_3}$
这就是说 $A_3$ 在所作的 $\odot O$ 上.循此下去，同样可证明正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$的其它各顶点也在 $\odot O$ 上.

其次，有了外接圆 $\odot O$ ，圆心 $O$ 到各边的距离便彼此相等，这就是说，以 $O$ 为圆心， $O$ 到一边的距离为半径必可作一圆和各边都相切，此圆即是正多边形 $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 的内切圆（图4.78）。

正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心；外接圆的半径, 叫做正多边形的半径; 内切圆的半径, 叫做正多边形的边心距; 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角，叫做正多边形的中心角.

如图 4.79, $A_1 A_2 A_3 \cdots A_n$ 是正 $n$ 边形， $\odot(O, r)$ 是它的外接圆， $\odot\left(O, d_n\right)$是它的内切圆， $O$ 为它的中心， $r$ 是它的半径， $d_n$ 是它的边心距。设正 $n$ 边形的边长为 $a_n$, 半径长为 $r$, 边心距为 $d_n$, 这三者有下面的勾股关系.

$$
r^2=d_n^2+\left(\frac{a_n}{2}\right)^2
$$

由于边数相同的正多边形的对应角都相等; 正多边形的各边相等, 所以边数相同的正多边形的对应边成比例. 因此, 我们可得下面的定理.
 ![图片](/uploads/2024-12/bfce91.jpg)
 
 定理
边数相同的正多边形都是相似形.
例 4.28 正多边形的面积，等于它的周长和边心距乘积的一半.
已知: 正多边形的面积 $S$, 周长是 $p$, 边心距是 $d$.
求证： $S=\frac{1}{2} p d$
证明：如图 4.80，设 $\overline{A B}$ 是正 $n$ 边形的一边， $O$ 是这个正多边形外接圆圆心，那么

$$
\begin{array}{ll}
\quad \triangle O A B \text { 的面积 }=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \\
\therefore & S=\triangle O A B \text { 的面积 } \times n=\frac{1}{2} d \times \overline{A B} \times n \\
\because & \overline{A B} \times n=p \\
\therefore & S=\frac{1}{2} p d .
\end{array}
$$

![图片](/uploads/2024-12/90d967.jpg)
 例 4.29 已知正三角形的边长为 $a$. 求它的外接圆半径 $r$ 和它的内切圆半径 $d$.

证明：如图 4.81，设 $O$ 是正 $\triangle A B C$ 的中心， $O M \perp \overline{A B}$ 于 $M$ ，则 $\overline{O A}=r$ ， $\overline{O M}=d, \angle O A M=\frac{1}{2} \angle C A B=30^{\circ}$

在直角三角形 $O A M$ 中, $r=2 d, \overline{A M}=\frac{a}{2}$

$$
\therefore \quad(2 d)^2=d^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2
$$

解之得: $d=\frac{\sqrt{3}}{6} a$.
于是， $r=2 d=\frac{\sqrt{3}}{3} a$
答: 内切圆半径是 $\frac{\sqrt{3}}{6} a$, 外接圆半径是 $\frac{\sqrt{3}}{3} a$.

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