最后更新: 2024-09-20 06:34 ● 参与者查看: 59 次纠错分享参与项目词条搜索

圆与圆的位似

## 圆与圆的位似
已知 $\odot(O, r)$ 和一点 $S$ (图 4.25), 我们来研究怎样求作 $\odot O$ 的以 $S$ 为位似中心, 位似比为常数 $k$ 的位似形.
 
设 $k>0$, 由位似变换的定义, 我们先作出以 $S$ 点为顺位似中心, $k$ 为位似比的点 $O$ 的对应点 $O^{\prime}$ (图 4.25, 取 $k=\frac{5}{2}$ ), 则

$$
\frac{\overline{S O^{\prime}}}{\overline{S O}}=k
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/97de37.jpg)
 
 设 $A$ 是 $\odot(O, r)$ 上任一点, 同样可作出 $A$ 的对应点 $A^{\prime}$, 使 $\frac{\overline{S A^{\prime}}}{\overline{S A}}=k$, 于是

$$
\begin{aligned}
& \quad \frac{\overline{S O^{\prime}}}{\overline{S O}}=\frac{\overline{S A^{\prime}}}{\overline{S A}}, \quad O^{\prime} A^{\prime} / / O A \\
& \therefore \quad \triangle S O^{\prime} A^{\prime} \backsim \triangle S O A . \\
& \frac{\overline{O^{\prime} A^{\prime}}}{\overline{O A}}=\frac{\overline{S O^{\prime}}}{\overline{S O}}=k, \quad \overline{O^{\prime} A^{\prime}}=k \overline{O A}=k \cdot r \\
& \therefore \quad A^{\prime} \text { 在 } \odot\left(O^{\prime}, k r\right) \text { 上. }
\end{aligned}
$$

这样, $\odot O$ 上的每一点, 以 $S$ 为顺位似中心, $k$ 为位似比的位似点都在 $\odot\left(O^{\prime}, k r\right)$ 上.

反过来, 如果 $A^{\prime}$ 点是 $\odot\left(O^{\prime}, k r\right)$ 上任一点, 我们可求作一点 $A$ 使 $\frac{\overline{S A^{\prime}}}{\overline{S A}}=k$.这时 $\triangle S O^{\prime} A^{\prime} \backsim \triangle S O A$,
$\therefore \quad \overline{\overline{O^{\prime} A^{\prime}}}=k$
又 $\because \overline{O^{\prime} A^{\prime}}=k r$
$\therefore \overline{O A}=r$
$A$ 点必在 $\odot(0, r)$ 上.
这样, $\odot\left(O^{\prime}, k r\right)$ 上的所有点, 又都是以 $S$ 为顺位似中心, $k$ 为位似比 $\odot(O, r)$ 上的点的位似点.

由上述正反两方面的说明， $\odot(O, r)$ 的以 $S$ 为位似中心， $k$ 为位似比的位似形是 $\odot\left(O^{\prime}, k r\right)$.

如给出的常数 $k<0$, 与 $k>0$ 的情况类似, 我们可作出已知 $\odot(O, r)$ 的逆位似形 (图 4.26), 这时变换的方向是相反的, 即 $O$ 点的逆位似点 $O^{\prime}$ 在射线 $S O$ 的反向延长线上, $A$ 点的逆位似点在射线 $S A$ 的反向延长线上, $\odot\left(O^{\prime},|k| r\right)$就是 $\odot(O, r)$ 的逆位似形.
 ![图片](/uploads/2024-09/970637.jpg)
 
综合以上讨论, 我们得到:
圆的位似形仍是圆.
进一步我们还可证明：
任何两个不等的圆, 都是位似形, 它们即可看作顺位似形, 又可看作逆位似形, 它们有两个位似中心.

已知 $\odot(O, r)$ 和 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$ 且 $r<r^{\prime}($ 图 4.25), 我们作两圆的半径 $\overline{O A}$ 和 $\overline{O^{\prime} A^{\prime}}$, 且使射线 $O A$ 与 $O^{\prime} A^{\prime}$ 的方向相同, 设直线 $A A^{\prime}$ 与连心线 $O O^{\prime}$ 交于一点 $S$, 这时 $S$ 点在 $\overline{O^{\prime} O}$ 的延长线上, 于是,

$$
\frac{\overline{S O^{\prime}}}{\overline{S O}}=\frac{r^{\prime}}{r}
$$
由于圆的位似形仍是圆, 我们以 $S$ 为位似中心, $\frac{r^{\prime}}{r}$ 为位似比作 $\odot(O, r)$ 的位似圆 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime \prime}\right)$ ，则

$$
\frac{r^{\prime \prime}}{r}=\frac{r^{\prime}}{r} \quad \Rightarrow \quad r^{\prime \prime}=r^{\prime}
$$

$\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime \prime}\right)$ 就是 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$.
这就证明了 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$ 与 $\odot(O, r)$ 为顺位似形，且位似比等于它们的半径的比，并且位似中心在它们的连心线上. 如果作两圆的半径 $\overline{O^{\prime} A^{\prime}}$ 和 $\overline{O A}$ ，且使射

线 $O^{\prime} A^{\prime}$ 与 $O A$ 的方向相反（图 4.26）。设 $\overline{A A^{\prime}}$ 与 $\overline{O O^{\prime}}$ 相交于 $S$ ，用同样的方法也可以证明 $\odot(O, r)$ 与 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$ 是以 $S$ 点为逆位似中心的逆位似图形.

从上述证明过程, 我们还可看出, 如果两圆相等且不同心, 它们只能看作逆位似图形。

由于凡位似形都是相似形, 这样我们也就证明了任何两个圆都是相似形.

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