最后更新: 2026-04-05 09:44 查看: 541 次纠错评论(0) 课件开VIP

两圆的位置关系

## 两圆的位置关系
不重合的两圆, 它们的位置关系, 有以下五种情况:

![图片](/uploads/2024-09/70328c.jpg)

**情况1.** 一圆在另一圆的外部, 这种位置关系叫做**两圆相离**, 如图 4.21(1). 这时,两圆没有公共点.

**情况2.**  两圆只有一个公共点且其中一圆上的其它各点都在另一圆的外部, 这种位置关系叫做**两圆外切**, 如图 4.21(2). 这个公共点叫做两圆的**切点**.

**情况3.**  两圆有两个公共点, 这种位置关系叫做**两圆相交**. 两个公共点叫做两圆的**交点**, 如图 4.21(3). 连结两个交点的线段叫做两圆的**公共弦**.

**情况4.**  两圆只有一个公共点且其中一圆上的其它各点都在另一圆的内部, 这种位置关系叫做**两圆内切**, 这个公共点叫做两圆的切点, 如图 4.21(4).

**情况5.**  一圆在另一圆的内部, 这种位置关系叫做**两圆内含**, 如图 4.21(5). 这时两圆没有公共点. 如果这两圆的圆心重合, 这两个圆叫做**同心圆**, 如图 $4.21(6)$.

经过两个圆的圆心的直线, 叫做**两圆的连心线**, 两个圆心之间的距离叫做**圆心距**. 如图 4.21, $\overline{O_1 O_2}$ 所在的直线就是 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的连心线, $\overline{O_1 O_2}$ 的长就是**两圆的圆心距**.

> 由圆的轴对称性可知, 两圆的连心线是两圆的对称轴, 并且两圆相切 (外切或内切) 时, 它们的切点在连心线上 (要不然, 两圆就将有两个公共点).

## 两圆位置的判定
如果用 $r_1$ 和 $r_2\left(r_1>r_2\right)$ 表示两圆的半径长, , 从图 4.21 可以看出：

#### 两圆位置的性质
1. 若两圆相离时, 则 $d>r_1+r_2$;
2. 若两圆外切时, 则 $d=r_1+r_2$; 
3. 若两圆相交时, 则 $r_1-r_2<d<r_1+r_2$;
4. 若两圆内切时, 则 $d=r_1-r_2$;
5. 若两圆内含时, 则 $d<r_1-r_2$ ；特殊情况，若两圆是同心圆时，则 $d 0$.

同学们不难用反证法证明上述各命题的逆命题也是正确的，即：
#### 两圆位置的判断
1. 若 $d>r_1+r_2$, 则两圆相离;
2. 若 $d=r_1+r_2$, 则两圆外切;
3. 若 $r_1-r_2<d<r_1+r_2$, 则两圆相交;
4. 若 $d r_1-r_2$, 则两圆内切;
5. 若 $d<r_1-r_2$, 则两圆内含 ; 特殊情况, 若 $d=0$, 则两圆是同心圆.

## 例题
`例`已知 $\odot A 、 \odot B 、 \odot C$ 两两外切，它们的圆心距分别是 $5 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 7 \mathrm{~cm}$ ，求这三个圆的半径.

解：设 $\odot A 、 \odot B 、 \odot C$ 的半径分别为 $x 、 y 、 z$ ，因为 $\odot A 、 \odot B 、 \odot C$ 两两外切，于是有方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=5 \\
y+z=7 \\
x+z=6
\end{array}\right.
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/e15668.jpg)
 
 解之得：
x =2, 
y =3, 
z =4

`例`如果两圆相交, 则连心线垂直平分两圆的公共弦.
已知: $\odot O_1 、 \odot O_2$ 相交于 $A 、 B$ 两点 (图 4.23).
求证：直线 $O_1 O_2$ 垂直平分 $\overline{A B}$.
证明: $\because O_1 、 O_2$ 各与 $A 、 B$ 两点的距离相等,
$\therefore \overline{O_1 O_2}$ 是 $\overline{A B}$ 的垂直平分线. 即 $O_1 O_2$ 垂直平分 $\overline{A B}$.
 ![图片](/uploads/2024-09/a3f110.jpg)
 
 
 `例`已知：$\odot(O, r)$ 上一点 $P$ ，和线段 $a$（图 4．24）．
求作：一圆使它的半径等于 $a$ ，且与 $\odot(O, r)$ 在 $P$ 点外切．作法

1．作半径 $\overline{O P}$ ，
2．在射线 $O P$ 上截 $\overline{P O^{\prime}}=a$ ，
3．以 $O^{\prime}$ 为圆心．$a$为半径长，画 $\odot O^{\prime}$ ，则 $\odot O^{\prime}$ 为所求作的圆．
 
 ![图片](/uploads/2026-04/9fff21.jpg)
 
 
证明：根据作法可知：

$$
\overline{O O^{\prime}}=\overline{O P}+\overline{P O^{\prime}}=r+a
$$

$\therefore \quad \odot O$ 与 $\odot O^{\prime}$ 在 $P$ 点外切．

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