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圆
垂直于弦的直径
日期:
2023-11-06 10:03
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垂直于弦的直径
圆是轴对称图形, 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 下面我们来证明这个结论.  要证明圆是轴对称图形, 只需证明圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称点也在圆上. 如图 24.1-6, 设 $C D$ 是 $\odot O$ 的任意一条直径, $A$ 为 $\odot O$ 上点 $C, D$ 以外的任意一点. 过点 $A$ 作 $A A^{\prime} \perp C D$, 交 $\odot O$ 于点 $A^{\prime}$, 垂足为 $M$, 连接 $O A, O A^{\prime}$. $$ \begin{aligned} & \text { 在 } \triangle O A A^{\prime} \text { 中, } \\ & \because \quad O A=O A^{\prime}, \\ & \therefore \triangle O A A^{\prime} \text { 是等腰三角形. } \\ & \text { 又 } A A^{\prime} \perp C D, \\ & \therefore A M=M A^{\prime} . \end{aligned} $$ 圆是轴对称图形, 任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 从上面的证明我们知道, 如果 $\odot O$ 的直径 $C D$ 垂直于弦 $A A^{\prime}$, 垂足为 $M$,那么点 $A$ 和点 $A^{\prime}$ 是对称点. 把圆沿着直径 $C D$ 折叠时, 点 $A$ 与点 $A^{\prime}$ 重合, $A M$ 与 $A^{\prime} M$ 重合, $\overparen{A C}, \overparen{A D}$ 分别与 $\overparen{A^{\prime} C}, \overparen{A^{\prime} D}$ 重合. 因此, $A M=A^{\prime} M, \overparen{A C}=\widehat{A^{\prime} C}, \widehat{A D}=\overparen{A^{\prime} D}$. 即直径 $C D$ 平分弦 $A A^{\prime}$, 并且平分 $\overparen{A A^{\prime}}, A \overparen{C A^{\prime}}$. 这样, 我们就得到垂径定理 ${ }^*$ : 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 进一步, 我们还可以得到推论: 平分弦 (不是直径) 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧.
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