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直线与圆的位置关系

## 圆与直线的位置关系
 如果直线与圆有两个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做**相交**，这条直线称作**割线**，如图24-42(1)
 
如果直线与圆只有1个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做**相切**，这条直线称作**切线**，公共点叫做切点如图24-42(2)

如果直线与圆没有公共点，这时直线与圆的位置关系叫做**相离**，如图24-42(3)
 
 
 ### 直线位置与圆的判定
 
 > 设 $\odot O$ 的半径为 $r$ ，圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，由上述直线与圆的位置关系可知：
（1）直线 $l$ 与 $\odot O$ 相交 $\Longleftrightarrow d<r$ ，如图 24－42（1）；
（2）直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切 $\Longleftrightarrow d=r$ ，如图 24－42（2）；
（3）直线 $l$ 与 $\odot O$ 相离 $\Longleftrightarrow d>r$ ，如图 24－42（3）．

![图片](/uploads/2026-04/2f61b6.jpg)
 
### **切线性质**

在图24－42（2）中，当直线 $l$ 与 $\odot O$ 相切时，切点为 $A$ ，连接 $O A$ ．这时，如在直线 $l$ 上任取一个不同于点 $A$ 的点 $P$ ，连接 $O P$ ，因为点 $P$ 在 $\odot O$ 外，所以 $O P>O A$ ．这就是说，$O A$ 是点 $O$到直线 $l$ 上任一点的连线中最短的，故 $O A \perp l$ ．

于是可得：

> **切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径**．

`例`已知：直线 $A B$ 与 $\odot O$ 相切于 $C$ 点（图 4．29）．求证：$A B \perp \overline{O C}$ ．

![图片](/uploads/2026-04/43bbf4.jpg)
 
证明：假设 $A B$ 和 $\overline{O C}$ 不垂直，自圆心 $O$ 引 $\overline{O D} \perp A B$ 于 $D$ 点，在 $A B$ 上取 $\overline{D C^{\prime}}=\overline{D C}$ ，且使 $D$ 点在 $C$ 与 $C^{\prime}$ 之间，于是 $O D$ 垂直平分 $\overline{C C^{\prime}}, \overline{O C^{\prime}}=\overline{O C}$ ．
$\because C$ 点是切点，$\overline{O C}$ 是 $O$ 的半径．
$\therefore \overline{O C^{\prime}}$ 是 $O$ 的半径，$C^{\prime}$ 点也在 $\odot O$ 上．
这就是说，直线 $A B$ 和 $\odot O$ 有了两个公共点 $C$ 和 $C^{\prime}$ ，但这与 $A B$ 是圆的切线，即 $A B$ 和 $\odot O$ 只有一个公共点相矛盾，

$$
\therefore \quad A B \perp \overline{O C} .
$$

上面这种方法叫做反证法，即为了证明原命题，建设原命题不成立，推出矛盾。

### **切线判定定理**

> **经过圆的半径外端，并且垂直这条半径的直线是这圆的切线**．

这就是说，“一条直线经过半径外端且垂直于半径”为这条直线是圆的切线的充分条件，反过来可证条件也是必要的

## 直线与圆位置判定的例题

`例`如图24－43，Rt $\triangle A B C$ 的斜边 $A B=10 \mathrm{~cm}$ ， $\angle A=30^{\circ}$ ．
（1）以点 $C$ 为圆心作圆，当半径为多少时，$A B$ 与 $\odot C$相切？
（2）以点 $C$ 为圆心、半径 $r$ 分别为 4 cm 和 5 cm 作两个圆，这两个圆与斜边 $A B$ 分别有怎样的位置关系？

![图片](/uploads/2026-04/234fb0.jpg)
 
解（1）过点 $C$ 作边 $A B$ 上的高 $C D$ 。

$$
\begin{array}{ll}
\because & \angle A=30^{\circ}, A B=10 \mathrm{~cm}, \\
\therefore & B C=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 10=5(\mathrm{~cm}) .
\end{array}
$$

在 Rt $\triangle B C D$ 中，有

$$
C D=B C \sin B=5 \sin 60^{\circ}=\frac{5}{2} \sqrt{3}(\mathrm{~cm}) .
$$

当半径为 $\frac{5}{2} \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ 时，$A B$ 与 $\odot C$ 相切．
（2）由（1）可知，圆心 $C$ 到 $A B$ 的距离 $d=\frac{5}{2} \sqrt{3} \mathrm{~cm}$ ．
当 $r=4 \mathrm{~cm}$ 时，$d>r, \odot C$ 与 $A B$ 相离；
当 $r=5 \mathrm{~cm}$ 时，$d<r, \odot C$ 与 $A B$ 相交．

`例` 在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A C=3 cm, B C=4 cm$ ，以 $C$ 为圆心， $r$ 为半径画圆。当（1）$r=1.8 cm$ ，（2）$r=2.4 cm$ ，（3）$r=2.6 cm$ 时，$\odot C$ 与 $A B$ 所在直线具有怎样的位置关系？为什么？

分析：要判断 $\odot C$ 与 $A B$ 所在直线的位置关系，只需求出圆心 $C$ 到 $A B$ 的距离 $C D$ 的长，然后与圆的半径 $r$ 进行比较．

解：如图 22－4，过点 $C$ 作 $C D \perp A B$ 于 $D$ ．

$$
\begin{array}{ll}
\because & \angle A C B=90^{\circ}, A C=3, B C=4, \\
\therefore & A B=\sqrt{A C^2+B C^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5 . \\
\because & S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot C D=\frac{1}{2} B C \cdot A C, \\
\therefore & C D=\frac{B C \cdot A C}{A B}=\frac{4 \times 3}{5}=2.4 .
\end{array}
$$
 
 ![图片](/uploads/2025-06/c8c47a.jpg)
 
即圆心 $C$ 到 $A B$ 的距离 $C D$ 的长为 2.4 cm ．
（1）当 $r=1.8 cm$ 时，$C D>r$ ，因此 $\odot C$ 与 $A B$ 相离；
（2）当 $r=2.4 cm$ 时，$C D=r$ ，因此 $\odot C$ 与 $A B$ 相切；
（3）当 $ r=2.6 cm$ 时，$ C D<r$ ，因此 $ \odot C$ 与 $ A B$ 相交．

`例`如图所示，$A B$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $\odot O$ 上一点，$A D$ 和过点 $C$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$ ．求证：$A C$ 平分 $\angle D A B$ ．

![图片](/uploads/2026-04/c6098f.jpg)
 
 
证明： 如图所示，连接 $O C$ ．
$\because D C$ 为 $\odot O$ 的切线，$\therefore \angle O C D=90^{\circ}$ ．
又 $\because A D \perp D C, \therefore A D / / O C$ ，

![图片](/uploads/2026-04/ba8d7c.jpg)
 
$$
\therefore \angle O C A=\angle D A C .
$$

$\because O A=O C, \therefore \angle O A C=\angle O C A$.
$\therefore \angle D A C=\angle O A C$ ，即 $A C$ 平分 $\angle D A B$ ．

其他版本
【高中数学】直线与圆的位置

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