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圆与直线的关系

## 圆与直线的位置关系
在图 4.27 中, 如果直线 $A B$ 和 $\odot O$ 的圆心 $O$ 的距离 $\overline{O D}$ 大于半径 $\overline{O C}$,那么 $D$ 点在圆外; 在直线 $A B$ 上再任取一点 $M$, 那么 $\overline{O M}>\overline{O D}>\overline{O C}$, 那么 $M$ 点也一定在圆外, 所以直线 $A B$ 上任何一点都在圆外, 于是 $\odot O$ 和直线 $A B$ 便没有公共点.

如果一条直线和一个圆没有公共点, 我们就说这条直线和这个圆相离.
在图 4.28 中, 过 $\odot(O, r)$ 的任一条半径 $\overline{O A}$ 的端点 $A$ 作直线 $A B \perp \overline{O A}$ 于 $A$ 点, $P$ 为直线 $A B$ 上除 $A$ 点外的任一点, 则 $\overline{O P}>\overline{O A}$, 于是 $P$ 就在圆外,这就是说, 在直线 $A B$ 上, 除 $A$ 点外其它的点都在圆外. 这时直线 $A B$ 和 $\odot O$只有一个公共点 $A$.

如果一条直线和一个圆只有一个公共点, 我们就说这条直线和这个圆相切,这条直线叫做圆的切线, 这个公共点叫做它们的切点.
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####  切线判定定理
经过圆的半径外端, 并且垂直这条半径的直线是这圆的切线.
这就是说，"一条直线经过半径外端且垂直于半径" 为这条直线是圆的切线的充分条件, 反过来可证条件也是必要的.

#### 切线性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径.

已知：直线 $A B$ 与 $\odot O$ 相切于 $C$ 点（图 4.29）.
求证: $A B \perp \overline{O C}$.
证明: 假设 $A B$ 和 $\overline{O C}$ 不垂直, 自圆心 $O$ 引 $\overline{O D} \perp A B$ 于 $D$ 点, 在 $A B$ 上取 $\overline{D C^{\prime}}=\overline{D C}$, 且使 $D$ 点在 $C$ 与 $C^{\prime}$ 之间, 于是 $O D$ 垂直平分 $\overline{C C^{\prime}}, \overline{O C^{\prime}}=\overline{O C}$.
$\because C$ 点是切点, $\overline{O C}$ 是 $O$ 的半径.
$\therefore \overline{O C^{\prime}}$ 是 $O$ 的半径, $C^{\prime}$ 点也在 $\odot O$ 上.
这就是说, 直线 $A B$ 和 $\odot O$ 有了两个公共点 $C$ 和 $C^{\prime}$, 但这与 $A B$ 是圆的切线, 即 $A B$ 和 $\odot O$ 只有一个公共点相矛盾,
$\therefore A B \perp \overline{O C}$.
在图 4.30 中, 经过半径 $\overline{O A}$ 的端点 $A$, 作与 $\overline{O A}$ 不垂直的任一条直线 $A B$,由上面的证明可知：这条直线和圆不能只有一个公共点, 还必须有另一个交点 $A^{\prime}$. 这就是说, 直线 $A B$ 和 $\odot O$ 有了两个公共点.

如果一条直线和一个圆有两个公共点, 我们就说, 这条直线和这个圆相交,这条直线叫做这个圆的割线, 这两个公共点叫做它们的交点.

一条直线和一个圆如果有公共点, 那么, 它们的公共点是不能多于两个的,因此, 直线和圆的位置关系只能有相离、相切和相交三种关系.
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## 切线定理
 已知 : $P$ 点在已知 $\odot O$ 外（图 4.33）.
求作：经过 $P$ 点的 $\odot O$ 的切线.作法
1. 作 $\overline{O P}$

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2. 以 $\overline{O P}$ 的中点 $C$ 为圆心, 以 $\overline{C O}$ 为半径作 $\odot C$ 交 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点;
3. 作直线 $P A 、 P B$, 则 $P A 、 P B$ 就是所求作的切线.
 
 证明: 作 $\overline{O A} 、 \overline{C A}$.

$$
\begin{array}{ll}
\because & \overline{C A}=\overline{C O}=\overline{C P}, \\
\therefore & \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4, \angle 1+\angle 3=\angle 2+\angle 4 . \\
\because & \angle 1+\angle 3+\angle 2+\angle 4=180^{\circ}, \\
\therefore & \angle 1+\angle 3=90^{\circ}, \text { 即 } O A \perp P A, P A \text { 是 } \odot O \text { 的切线 (切线判定定理). }
\end{array}
$$

同理可证 $P B$ 也是所求作的切线.
另外, 在直角 $\triangle P O A$ 和直角 $\triangle P O B$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \because \quad \overline{O A}=\overline{O B}, \quad \overline{P O}=\overline{P O} . \\
& \therefore \quad \triangle P O A \cong \triangle P O B, \quad \overline{P A}=\overline{P B} .
\end{aligned}
$$

如果 $\overline{P A}, \overline{P B}$ 的长叫做 $P$ 点到圆的切线长, 那么我们就可得到下面的定理：
 
### 切线长定理
从圆外一个已知点到圆的两条切线的长相等.

以 $\triangle P O A \cong \triangle P O B$, 还可推出 $\angle A P O=\angle B P O$, 因此又可得出：
### 定理
连结圆外一个已知点和圆心的直线, 平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角.

## 三角形的内切圆
如果一个多边形的各边都和一个圆相切 (图 4.34), 这个多边形叫做圆的外切多边形, 这个圆叫做多边形的内切圆, 内切圆的圆心又叫做外切多边形的内心. 如图 4.34 所示, $A B C D$ 是 $\odot O$ 的外切四边形, $A B C D E$ 是 $\odot P$ 的外切五边形等, $O 、 P$ 分别是四边形 $A B C D$ 与五边形 $A B C D E$ 的内心.

已知 $\odot I$, 过这圆上 $D 、 E 、 F$ 三点作它的三条切线交成 $\triangle A B C$ (图 4.35),于是 $\odot I$ 便是 $\triangle A B C$ 的内切圆. 由于切线垂直于过切点的半径, 则内心 $I$ 到
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 三边的距离相等，I 在 △ABC 的三个内角的平分线上．
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  例 4.12 已知 $\triangle A B C, \overline{B C}=a 、 \overline{A C}=b, \overline{A B}=c$, 求三个顶点到内切圆的切线长（图4.37）.
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解：设 $\triangle A B C$ 的三边、 $\overline{B C} 、 \overline{C A} 、 \overline{A B}$ 分别与内切圆 $I$ 相切于 $D 、 E 、 F$ 三点, 由于从圆外一点引圆的两条切线长相等,

$$
\therefore \quad \overline{A E}=\overline{A F}, \quad \overline{B F}=\overline{B D}, \quad \overline{C D}=\overline{C E} .
$$

设 $\overline{A E}=x 、 \overline{B F}=y, \overline{C D}=z$, 则可得到,

$$
\left\{\begin{array}{l}
x+y=c \\
y+z=a \\
z+x=b
\end{array}\right.
$$

解之得：

$$
x=\frac{b+c-a}{2}, \quad y=\frac{a+c-b}{2}, \quad z=\frac{a+b-c}{2}
$$

答: 三个顶点 $A 、 B 、 C$ 到内切圆的切线长分别为

$$
\frac{b+c-a}{2}, \quad \frac{a+c-b}{2}, \quad \frac{a+b-c}{2}
$$

## 圆的外切四边形
我们已经知道，每一个三角形都有一个内切圆，现在要问，是不是每个四边形也都有一个内切圆呢？如果四边形有一个内切圆，那么，这个四边形的四个角的平分线应相交于一点，显然，这个性质并不是每个四边形都能具备的．下面先让我们来寻求四边形有内切圆的必要条件．
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 已知 $\odot I$, 过圆上四点 $P 、 Q 、 R 、 S$ 分别作 $\odot I$ 的切线交成四边形 $A B C D$ (图 4.39). 于是有,

$$
\overline{A P}=\overline{A Q}, \quad \overline{B R}=\overline{B Q}, \quad \overline{C R}=\overline{C S}, \quad \overline{D P}=\overline{D S}
$$

(切线长定理)
将四个等式左右各相加得：

$$
\overline{A P}+\overline{B R}+\overline{C R}+\overline{D P}=\overline{A Q}+\overline{B Q}+\overline{C S}+\overline{D S}
$$
 
即: $\overline{A D}+\overline{B C}=\overline{A B}+\overline{C D}$.
这就说 "对边的和相等" 是圆外切四边形的一个必要条件. 于是我们得到:
定理
圆的外切四边形的每双对边的和相等.
现在要问, "对边的和相等" 是不是一个四边形有内切圆的充分条件呢? 答案也是肯定的.

定理
如果四边形的每双对边的和此相等, 则它必有内切圆.

已知: 在四边形 $A B C D$ 中 (图 4.40), $\overline{A B}+\overline{C D}=\overline{A D}+\overline{B C}$.
求证: 四边形 $A B C D$ 有内切圆.
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 证明: 假定 $\overline{A B}>\overline{B C}$, 则根据已知条件 $\overline{A B}+\overline{C D}=\overline{A D}+\overline{B C}$, 可知 $\overline{A D}>\overline{C D}$.故在 $\overline{A B}$ 及 $\overline{A D}$ 上, 可以截取线段 $\overline{B M}=\overline{B C}, \overline{D N}=\overline{D C}$, 从而,

$$
\overline{A M}=\overline{A B}-\overline{B C}, \quad \overline{A N}=\overline{A D}-\overline{C D}
$$

但根据已知条件 $\overline{A B}-\overline{B C}=\overline{A D}-\overline{C D}$,

$$
\therefore \quad \overline{A M}=\overline{A N}
$$

连结 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$, 于是 $\triangle A M N 、 \triangle B C M 、 \triangle D C N$ 都是等腰三角形,因此它们的顶角 $\angle A 、 \angle B 、 \angle C$ 的平分线, 必然是底边 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$ 的垂直平分线, 这样一来, 这三条角平分线也是 $\triangle C M N$ 的边 $\overline{M N} 、 \overline{C M} 、 \overline{C N}$ 的垂直平分线. 所以这三条角平分线一定相交于一点 $I$. 自 $I$ 点分别作 $\overline{A B} 、 \overline{B C}$ 、

$\overline{C D} 、 \overline{D A}$ 的垂线, 垂足分别是 $E 、 F 、 G 、 H$. 于是得

$$
\overline{I E}=\overline{I F}=\overline{I G}=\overline{I H}
$$

因此, 以 $I$ 为圆心, $\overline{I E}$ 为半径的圆与四边形 $A B C D$ 的各边分别相切于 $E 、 F 、 G 、 H$ 四点、即四边形有内切圆 $\odot I$.
注意：在证明本定理时，假定了 $\overline{A B}>\overline{B C}$ ，如果 $\overline{A B}<\overline{B C}$ ，证明方法完全一样, 如果 $\overline{A B}=\overline{B C}$, 那么, 证法就更简单了, 想一想为什么?

## 两圆的公切线
如图 4.41 所示, 一条直线与两圆都相切, 这条直线就叫做两圆的公切线.如果两圆的圆心都在公切线的同侧, 这条公切线就叫做两圆的外公切线; 如果两圆的圆心分别在公切线的两侧, 这条公切线就叫做两圆的内公切线. 显然, 如果两圆相交, 两圆只有外公切线而无内公切线（图4.41(2)）。

一条公切线上两切点间线段的长, 叫做两圆的公切线的长.
在实践中, 要画两圆的公切线时, 可将直尺渐渐移动使靠近两圆直至和两圆各只有一个接触点时, 然后沿着直尺的边缘, 就可画出两圆的公切线.

下面我们来研究只用圆规和直尺两圆外公切线的方法.
（一）作两个圆的外公切线
已知: $\odot(O r)$ 和 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$ 且 $r>r^{\prime}$ 。
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 求作: $\odot O$ 和 $\odot O^{\prime}$ 的外公切线.
分析：假设 $A B$ 是所求作的 $\odot O$ 和 $\odot O$ 的外公切线 (图 4.42), $A$ 和 $B$ 是切点, 分别作半径 $\overline{O A}, \overline{O^{\prime} B}$, 由于 $\overline{O A}, \overline{O^{\prime} B}$ 都垂直于 $A B$, 所以 $O A / / O^{\prime} B$,作 $O^{\prime} E / / A B$ 交 $\overline{O A}$ 于 $E$ 点, 则 $O^{\prime} E \perp O A$, 且 $\overline{O E}=r-r^{\prime}$, 这时 $O^{\prime} E$ 与 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 相切于 $E$ 点. $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 可作, 过 $O^{\prime}$ 也可作 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 的切线. 故切点 $E$ 可定, 于是 $A B$ 可作.

作法 (图4.43).
1. 作 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$;
2. 从 $O^{\prime}$ 点作 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 的切线 $O^{\prime} E, E$ 为切点;
3. 作 $\overline{O E}$, 并延长交 $\odot O$ 于 $A$ 点;
4. 过 $O^{\prime}$ 点作 $O^{\prime} B / / O A$ 交 $\odot O^{\prime}$ 于 $B$ 点;
5. 过 $A 、 B$ 作直线 $A B$, 则直线 $A B$ 为所求的公切线.

证明：（略）
讨论：

1. 如果两圆相离、外切、或相交, 那么 $\overline{O O^{\prime}}>r-r^{\prime}$, 从 $O^{\prime}$ 向 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$作切线可作两条切线, 这时所求作的外公切线有两条, 如图 4.43 中的 $A B$和 $C D$ 。

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2. 如果两圆内切于 $A$ 点 (图 4.44), 那么 $O^{\prime}$ 正好在 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 上, 过 $O^{\prime}$点作 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 的切线只能作一条, 这时两圆的公切线只能作出一条,它就是过两圆的切点 $A$, 并垂直于连心线的直线.
3. 如果两圆内含时, 那么 $O^{\prime}$ 点在 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 内, 这时, 过 $O^{\prime}$ 点作不出 $\odot\left(O, r-r^{\prime}\right)$ 的切线则作图题无解.

## 作两圆的内公切线
已知: $\odot(O, r), \odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$.
求作： $\odot(O, r)$ 和 $\odot\left(O^{\prime}, r^{\prime}\right)$ 的内公切线.
分析：如图 4.45，设 $A B$ 为所求的内公切线， $A$ 和 $B$ 为切点，作 $\overline{O A}, \overline{O^{\prime} B}$ ，因为这两条半径都垂直于公切线 $A B$, 所以互相平行, 再从 $O^{\prime}$ 点引 $O^{\prime} C / / B A$交 $\overline{O A}$ 的延长线于 $C$, 所以 $O^{\prime} C$ 和以 $O$ 为圆心, $\overline{O C}$ 为半径的圆相切, 但这圆的半径 $\overline{O C}$ 等于 $\overline{O A}+\overline{A C}$ ，也等于 $\overline{O A}+\overline{O^{\prime} B}$ ，就是等于 $r+r^{\prime}$ ，而它的圆心就是已知圆的圆心 $O$, 所以这个圆可作.

作法（图4.45）。
1. 以 $O$ 为圆心， $r+r^{\prime}$ 为半径画圆；
2. 从 $O^{\prime}$ 作该圆的切线 $O^{\prime} C$, 切点为 $C$;
3. 作 $\overline{O C}$ 交 $\odot O$ 于 $A$ 点;
4. 过 $A$ 作 $A B / / C O^{\prime}$, 切 $\odot O$ 于 $B$ 点, $A B$ 即为所求作的内公切线.
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 证明：略.
讨论：
1. 如果两圆相离, 可作出两条内公切线.
2. 如果两圆外切, 只能作一条内公切线, 这条内公切线就是过切点并且垂直于连心线的直线（图4.46）.
3. 如果两圆相交或内含作图题无解.

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