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与圆有关的角

## 圆心角、圆周角
顶点在圆心的角叫做圆心角. 如图 4.7 中的 $\angle A O B$, 就是一个圆心角, 它的两边与 $\odot O$ 的交点为 $A 、 B . ~ \widehat{A B}$ 叫做 $\angle A O B$ 所对的弧, $\angle A O B$ 叫做 $\overparen{A B}$所对的圆心角.

圆心角与它所对的弧之间有如下关系.
定理
在同圆或等圆中, 弧相等的充要条件是它们所对的圆心角相等.

我们来证充分性，必要性由同学们自证.
已知: $\angle A O B$ 和 $\angle A^{\prime} O B^{\prime}$ 都是 $\odot O$ 的圆心角 (图 4.47), 它们所对的弧分别是 $\widehat{A B}$ 和 $\widehat{A^{\prime} B^{\prime}}$, 且 $\angle A O B=\angle A^{\prime} O B^{\prime}$.

求证: $\overparen{A B}=\widehat{A^{\prime} B^{\prime}}$.
证明: 把圆心角 $\angle A O B$, 连同它所对的弧依图中箭头所示的方向旋转, 使 $\overline{O A}$与 $\overline{O A^{\prime}}$ 重合, 因 $\angle A O B=\angle A^{\prime} O B^{\prime}, \overline{O B}=\overline{O B^{\prime}}$, 所以 $\overline{O B}$ 可与 $\overline{O B^{\prime}}$ 重合, $B$与 $B^{\prime}$ 重合, 因此 $\widehat{A B}$ 与 $\widehat{A^{\prime} B^{\prime}}$ 重合, 所以 $\widehat{A B}=\widehat{A^{\prime} B^{\prime}}$.
 ![图片](/uploads/2024-09/52430e.jpg)
 如果把顶点在圆心的周角分成 360 等份, 这时, 整个圆周也被分成 360 等份. 我们把每一份叫做 $1^{\circ}$ 弧。由此可知 $1^{\circ}$ 的圆心角所对的弧是 $1^{\circ}$ 弧, $1^{\circ}$ 的弧所对的圆心角是 $1^{\circ}$ 的角，于是 $n^{\circ}$ 的圆心角所对的弧也是 $n^{\circ}$ 。因此有：

圆心角的度数等于它所对的弧的度数.

顶点在圆周上, 并且两边都与圆相交的角, 叫做圆周角.
如图 4.48, $\angle B A C$ 就是 $\odot O$ 的一个圆周角, 它的顶点 $A$ 在 $\odot O$ 上, 它的两边分别交 $\odot O$ 于 $B 、 C$, 这时, $\overparen{B C}$ 叫做 $\angle B A C$ 所对的弧, $\angle B A C$ 叫做 $\overparen{B C}$所对的圆周角，圆周角与它所对弧之间有如下关系：

圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

已知： $\angle B A C$ 是 $\odot O$ 的圆周角, $\overparen{B C}$ 是它所对的弧（图 4.49）.
求证: $\angle B A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \overparen{B C}$ 的度数.

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 证明: 分三种情况来证明
1. 圆心 $O$ 在 $\angle B A C$ 的一边上, 如图 4.49(1), $O$ 在 $A B$ 边上, 作半径 $\overline{O C}$,在 $\triangle A O C$ 中,
$\because \overline{O A}=\overline{O C}$,
$\therefore \quad \angle C=\angle B A C$.
又 $\because \quad \angle B O C$ 是 $\triangle O A C$ 的外角,
$\therefore \quad \angle B O C=\angle B A C+\angle C=2 \angle B A C, \quad \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C$.
又 $\because \angle B O C$ 的度数 $=\widehat{B C}$ 的度数.
$\therefore \quad \angle B A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \overparen{B C}$ 的度数.

2. 圆心 $O$ 在 $\angle B A C$ 内, 如图 4.49(2), 作直径 $A D$, 从 1 可以知道:
$\angle B A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \overparen{B C}$ 的度数, $\angle D A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \overparen{D C}$ 的度数

$$
\because \quad \angle B A C=\angle B A D+\angle D A C
$$

$\therefore \quad \angle B A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{B D}$ 的度数 $+\frac{1}{2} \overparen{D C}$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{B C}$ 的度数
3. 圆心 $O$ 在 $\angle B A C$ 的外部, 如图 4.49(3), 作直径 $A D$, 从 1 可以知道,
$\angle B A D$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{B D}$ 的度数, $\angle C A D$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{D C}$ 的度数 $\because \quad \angle B A C=\angle B A D-\angle C A D$,
$\therefore \angle B A C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{B D}$ 的度数 $-\frac{1}{2} \widehat{C D}$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{B C}$ 的度数根据圆周角定理, 请同学们自证下列的推论.

推论 1
同弧（或等弧）所对的圆周角相等（图4.50）。
 ![图片](/uploads/2024-09/a13386.jpg)
 
 推论 2
半圆上的圆周角都是直角（图 4.51）．
推论 3
等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径（图 4.51）．

## 弦切角

顶点在圆上, 一边和圆相交, 另一边和圆相切的角叫做 弦切角.
如图4.55, $\angle A B C$ 就是弦切角, 顶点 $B$ 在圆上, 一边 $B C$ 与圆相切于 $B$点, 另一边还与圆相交于 $A$ 点, $\widehat{A m B}$ 叫做弦切角 $\angle A B C$ 所夹的弧.

弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.
已知： $\angle A B C$ 是 $\odot O$ 的弦切角 (图 4.55). 边 $\overline{B C}$ 与 $\odot O$ 相切, 边 $\overline{B A}$与 $\odot O$ 相交于 $A$ 点.

求证: $\angle A B C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数.证明: 过 $B$ 点作 $\odot O$ 的直径 $\overline{B D}$, 作弦 $\overline{A D}$. 由于直径上的圆周角是直角,

$$
\therefore \quad \angle B A D=90^{\circ}, \quad \angle A D B=90^{\circ}-\angle A B D
$$
 ![图片](/uploads/2024-09/f28af8.jpg)
 
 $\because B C$ 是 $\odot O$ 的切线,
$\therefore \quad \overline{O B} \perp B C, \quad \angle A B C=90^{\circ}-\angle A B D, \quad \angle A B C=\angle A D B$
$\because \quad \angle A D B$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数 (圆周角定理)
$\therefore \angle A B C$ 的度数 $=\frac{1}{2} \widehat{A m B}$ 的度数.
由弦切角定理与圆周角定理又可得到:
推论
弦切角等于它所夹弧上的圆周角.

例 4.17 已知 : 如图 4.56, $\overline{A B}$ 是 $\odot O$ 的一条弦, $A C$ 是一条射线, 且 $\angle B A C=$ $\frac{1}{2} \widehat{A B}$ 的度数.

求证: AC 切 $\odot O$ 于 $A$.
证明: 作直径 $\overline{A D}$. 由于：
$\angle B A C=\frac{1}{2} \overparen{A B}$ 的度数
(已知)
$\angle A D B=\frac{1}{2} \widehat{A B}$ 的度数
(圆周角定理)
$\therefore \quad \angle B A C=\angle A D B$.
$\because \angle A B D=90^{\circ}$ (圆周角定理推论 2)
$\therefore \quad \angle A D B+\angle B A D=90^{\circ}, \quad \angle B A C+\angle B A D=90^{\circ}$
于是, $A C \perp A D$ 于 $A$ 点,
$\therefore A C$ 切 $\odot O$ 于 $A$ 点 (切线判定定理).
例 4.17 所证结论说明了: 弦切角定理的逆定理是成立的. 这就是说, 一个角的顶点在圆周上且等于它所夹弧的度数的一半, 不仅是这个角为弦切角的必要条件, 同时也是这个角为弦切角的充分条件.
 ![图片](/uploads/2024-09/164b12.jpg)
 
 ## 圆幂定理

切制线定理
过圆外一点作圆的切线和割线, 这点到割线两交点间的距离的乘积等于这点到切点的距离的平方.

已知： $P$ 为 $\odot O$ 外一点, 直线 $P T$ 与 $\odot O$ 相切于 $T$ 点, 割线 $P A B$ 与 $\odot O$相交于 $A 、 B$ 两点 (图4.60).

求证: $\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2$.
证明: 作弦 $\overline{A T} 、 \overline{B T}$, 在 $\triangle P A T$ 和 $\triangle P T B$ 中,
$\because \angle P$ 是公共角, $\angle A T P=\angle T B P P$ (弦切角定理的推论),
$\therefore \quad \triangle P A T \backsim \triangle P T B, \quad \overline{\overline{P A}}=\frac{\overline{P T}}{\overline{P B}}$
$\therefore \quad \overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2$.
相交弦定理
圆内两条相交弦中，每条弦被交点分成的两条线段的乘积相等.
如图 4.61, $\odot O$ 的两条弦 $\overline{A B} 、 \overline{C D}$ 相交于 $P$, 则 $\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P C} \cdot \overline{P D}$ (请同学自己完成证明).
 ![图片](/uploads/2024-09/6b5af2.jpg)
 让我们观察图 4.62 与图 4.63, 由切割线定理和相交弦定理, 不难看出不论 $P$ 点在圆内或圆外, 通过它的任一条圆的割线交圆于 $A 、 B$ 两点, 只要 $P$点的位置定了, 则乘积 $\overline{P A} \cdot \overline{P B}$ 都是定值.

设定值为 $k$, 当 $P$ 点在圆外时 (图 4.62), 由切割线定理知.

$$
k=\overline{P A} \cdot \overline{P B}=\overline{P T}^2=\overline{P O}^2-r^2 \quad(r \text { 是 } \odot O \text { 的半径 })
$$

当 $P$ 点在圆内时 (图 4.63), 过 $P$ 点作弦 $\overline{E F} \perp O P$, 则:

$$
k=\overline{P E} \cdot \overline{P F}=\overline{P E}^2=r^2-\overline{O P}^2
$$

$k$ 叫做点 $P$ 对于圆的幂, $P$ 点若在圆上, 显然 $k=0$, 总结以上讨论, 我们可以得到:

圆家定理
已知 $\odot(O, r)$, 通过一定点 $P$, 作任一条圆的割线交圆于 $A 、 B$ 两点, 则

$$
\overline{P A} \cdot \overline{P B}=k
$$

其中: $k$ 为定值.
1. 当 $P$ 点在圆外时, $k=\overline{P O}^2-r^2$,
2. 当 $P$ 点在圆内时, $k=r^2-\overline{P O}^2$,
3. 当 $P$ 点在圆上时, $k=0$.

例 4.20 求证：相交两圆的公共弦的延长线上一点, 到两圆的切线长相等.
已知：如图 4.64， $\odot O$ 与 $\odot O^{\prime}$ 相交于 $A 、 B, P$ 是 $\overline{B A}$ 延长线上任一点, $P C, P C^{\prime}$ 分别和 $\odot O$ 和 $\odot O^{\prime}$ 相切于 $C 、 C^{\prime}$.

求证: $\overline{P C}=\overline{P C^{\prime}}$
证明: $\because P C$ 和 $\odot O$ 相切于 $C$ 点, $P A B$ 是 $\odot O$ 的割线
$\therefore \overline{P C}^2=\overline{P A} \cdot \overline{P B}$ (切割线定理).
同理, $\overline{P C^{\prime 2}}=\overline{P A} \cdot \overline{P B}$
$\therefore \quad \overline{P C}^2={\overline{P C^{\prime}}}^2, \quad \overline{P C}=\overline{P C^{\prime}}$.
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 ## 圆的内接四边形
 我们知道, 每一个三角形都有一个外接圆, 现在我们要问是否每一个四边形都有一个外接圆呢？答案是很明显的，并不是每个四边形都有一个外接圆，这个事实, 同学们可自己举例说明. 下面我们来学习四边形内接于圆的条件, 几个点在同一圆上, 我们常说这几点共圆.

定理
四边形的四个顶点共圆的充分必要条件是四边形的内对角互补.
(一) 必要性
已知：四边形 $A B C D$ 的四个顶点共圆.
求证: $\angle A+\angle C=180^{\circ}, \angle B+\angle D=180^{\circ}$
证明：由圆周角定理，

$$
\begin{aligned}
(\angle A+\angle C) \text { 的度数 } & =\angle A \text { 的度数 }+\angle C \text { 的度数 } \\
& =\frac{1}{2}(\widehat{B C D} \text { 的度数 }+\widehat{B A D} \text { 的度数 }) \\
& =\frac{1}{2} \text { (周角的度数) } \\
& =\frac{1}{2} \times 360^{\circ}=180^{\circ}
\end{aligned}
$$

同理可证: $\angle B+\angle D=180^{\circ}$.
 ![图片](/uploads/2024-09/930194.jpg)
 （二）充分性
已知: 四边形 $A B C D$, 且 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$.
求证: $A 、 B 、 C 、 D$ 共圆
证明: 由于 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$,

$$
\therefore \quad \angle B<180^{\circ}
$$

$A 、 B 、 C$ 三点不在同一条直线上, 于是有 $\odot O$ 通过 $A 、 B 、 C$ 三点（图 4.68 ), 如果 $D$ 点不在 $\odot O$ 上, 那么只有下面两种可能:
1. $D$ 点在 $\odot O$ 内, 延长对角线 $\overline{B D}$ 与 $\odot O$ 相交于 $D_1$ 点, 于是, $\angle A D C>$ $\angle A D_1 C$. 但 $\angle A D_1 C+\angle B=180^{\circ}$

$$
\therefore \quad \angle A D C+\angle B>180^{\circ} \text {. }
$$

这与已知 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ 相矛盾, 所以 $D$ 点不能在 $\odot O$ 内.
2. $D$ 点在 $\odot O$ 外, 这时 $D_1$ 点在对角线 $\overline{B D}$ 上, 于是, $\angle A D C<\angle A D_1 C$.但 $\angle A D_1 C+\angle B=180^{\circ}$

$$
\therefore \quad \angle A D C+\angle B<180^{\circ} \text {. }
$$

这又与 $\angle B+\angle D=180^{\circ}$ 矛盾, 所以 $D$ 点不能在 $\odot O$ 外.
由 1、2 可知假设 " $D$ 不在 $\odot O$ 上" 是错误的, 因而 $D$ 必在 $\odot O$ 上, 充分性得证。

推论 1
四边形的四个顶点共圆的充分必要条件是一个外角等于其内对角.
已知四边形 $A B C D, \angle E A D$ 是它的一个外角 (图 4.69), 推论 1 要求证明:

$$
A, B, C, D \text { 四点共圆 } \Longleftrightarrow \angle E A D=\angle C
$$

请同学自证这个推论.

推论 2
如果两个点在另外两个点所在直线的同旁，并且和另外两点的连线所夹
的角相等，那么这四点共圆．

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